Question

设A为M*N矩阵,且非齐次线性方程组AX=b有唯一解,为什么则r(A)=n

为什么不是r(A)=m呢？？

Answer 1

因为m是方程组的个数，而n是方程组中未知数的个数，要求方程组有唯一解，则系数矩阵的秩就要等于要求的未知数个数，如果m>n，r（A）=m，不就是超定方程了吗，还怎么有唯一解，如果m<n，r（A）=n，不就是有无数解了吗

Answer 2

这是定理
1. AX=b 有解 的充分必要条件是 r(A)=r(A,b)
2. AX=b 有唯一解 的充分必要条件是 r(A)=r(A,b)=n

设向量b可由向量a1,a2,...,as线性表示,
证明a1,a2,...,as线性无关的充分必要条件是b可由a1,a2,...,as线性表示的表示方法唯一

http://zhidao.baidu.com/question/347258992.html
这即可说明第2个结论

Answer 3

若m>n则r(A)≤min(m,n)≤n
若m=n则r(A)=n=m
若m<n则AX=0有无穷多解，依据非其次线性方程组解的结构可知，AX=b有无穷多解，同已知矛盾。
故r(A)=n

追问

若m>n则r(A)≤min(m,n)≤n？是<m吧？

追答

m>n>min(m,n)
固然<m，但知道更小的范围为什么不取呢？

Answer 4

当m<n时，
r(A)<=m<n,那么AX=b有无穷多解。
当m=n时，
r(A)=m=n,，只有此时r(A)=m
当m>n时。
r(A)=n<m有唯一解。
不明白可以追问，如果有帮助，请选为满意回答！

追问

设A为M*N矩阵,且非齐次线性方程组AX=b有唯一解,为什么则r(A)=n,这题的答案就是r（A）=n啊，没有讨论！

追答

证明的时候一定会讨论。
有r(A)<=n<=m，不可能有r(A)=m≠n,

Answer 5

……bn）’）进行初等矩阵变换可得见图片（画得不好，但可以表示就行）.baidu，对（a|b）（b=（b1，b2;bn' 为b=（b1，b2，……bn）’变换后得到的。则由此可知，非齐次线性方程组ax=b有唯一解。
钟灵毓秀_滇
2010-12-26
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