Question

问一个求导的问题 求大神

x^y=y^x 求dy/dx
为什么直接对两边求对数ylnx=xlny 这种做法是错的
要改成对两边化成e^ylnx=e^xlny解

Answer 1

x^y=y^x 求dy/dx，为什么直接对两边取对数ylnx=xlny 这种做法是错的，
要改成e^ylnx=e^xlny形式再求导。
解：先对两边取对数ylnx=xlny ，然后求导，这种做法没有错！
(一)等式两边取自然对数得ylnx=xlny；两边对x取导数得 y′lnx+(y/x)=lny+(xy′/y).........(1)
[lnx-(x/y)]y′=lny-(y/x)，故y′=[lny-(y/x)]/[lnx-(x/y)]=y(xlny-y)/[x(ylnx-x)].
(二)把两边改写成e^(ylnx)=e^(xlny)形式再求导
解：两边对x求导得[e^(ylnx)][y′lnx+(y/x)]=[e^(xlny)][lny+(xy′/y)]..........(2)
注意：e^(ylnx)=x^y；e^(xlny)=y^x；而x^y=y^x，故可把e^(ylnx)和e^(xlny)从(2)中消去，从而得到：
y′lnx+(y/x)=lny+(xy′/y)，这与(1)完全一样，对吗？

Answer 2

ylnx=xlny ：改变了原来的式子数据，lnx ‘ 会= 1/x 这是意外多出来的，是错误；

e^ylnx=e^xlny：未改变原式，其实就是x^y=y^x（不信可以计算e^ylnx=x^y，e^xlny=y^x） 。

胡言乱语，请批评。

Answer 3

应该可以这么做吧
ylnx=xlny
两边求导：
y/x+y'*lnx=lny+x*y'/y
得：y'=(y^2-xylny)/(x^2-xylnx)