Question

高等数学，求助一道微分方程通解的问题

①x²+y²=k,，②y=ln(Ax)+ln(Bsinx)，③y=ax²+bx+c这三个为什么不能看做是某个二阶方程的通解？？而y=dsin²x+ecos²x就可以呢？（k，A，B，a，b，c，d，e都是常系数）

Answer 1

二阶方程的通解应该有两个独立的常数
1.只有1个常数k 不能
2.y=ln(Ax)+ln(Bsinx)=lnA+lnx+lnB+lnsinx,(lnA+lnB=C，实际上只有1个常数). 不能
3.y=ax²+bx+c有3个独立的常数 不能

4.有2个独立常数d,e 可以

Answer 2

你求下导就出来了。

追问

这个判断的依据是什么啊？求导后还是不知道如何判断？？

追答

应该说，选定y=e^x作为身分方程解的基本元素，主要是考虑到这个函数的各阶导数和它一样。这样在计算过程中就十分的方便，接近于我们说的线性。其他形式的解也可能存在，但象你上面说的，解起来，运算量比较大。

追问

还是看不懂，~~~~(>_<)~~~~

追答

唉，那看书吧。书上解释的应该比我解释的要清楚

追问

书上就说只有最后一个有任意的独立常数 ，所以就是这个，看不懂，感觉找不到和微分方程相关的知识点啊，应该怎么理解“有任意的独立常数”？

追答

独立的常数，就是积分常数啊。积分的时候，会存在一个常数的。
比如y=f(x)是方程的通解
那么y=kf(x) (k是常数)也是方程的通解。注意只是通解。这是因为导函数的性质得出的。那个系数k在运算中，只是系数的作用。

微分方程解的结构有点象矩阵方程解的结构，解是可叠加的。