Question

高中数学题要解析

Answer 1

抛物线c₁的焦点F(p/2，0)是双曲线c₂的右焦点，因此有等式：a²+b²=p²/4...........(1)
c₁和c₂的焦半径相等，于是用x=p/2代入两个方程得：p²=b²[(p²/4a²)-1]...............(2)
将(1)代入(2)式得4(a²+b²)=b²[(a²+b²)/a²-1]
化简得：4(a²+b²)=(b^4)/a²
将b²=c²-a²代入，得：4c²=(c²-a²)²/a²
4c²a²=c^4-2a²c²+a^4
c^4-6a²c²+a^4=0
用a^4除上式的两边得：e^4-6e²+1=0
故e²=(6+√32)/2=3+2√2.
∴双曲线c₂的离心率为：e=√(3+2√2)=√(1+√2)²=1+√2.故应选

Answer 2

(1) 已知条件 f(xy)=f(x)+f(y) (xy≠0)
f(1)=f(1*1)=f(1)+f(1)
f(1)=0
f(1)=f(y/y)=f(y)+f(1/y)=0
f(1/y)=-f(y)
f(x/y)=f(x)+f(1/y)=f(x)-f(y)

(2) 已知条件 f(x+y)=f(x)f(y) (x,y∈R) f(1)=2
n为正整数

f(2n)=f(n)f(n)
f(2n-1)=f(n+n-1)=f(n)f(n-1)
f(n)=f(n-1+1)=f(n-1)f(1)
f(n)/f(n-1)=f(1)
[f(n)f(n)+f(2n)]/f(2n-1)=[2f(n)f(n)]/[f(n)f(n-1)]=2f(n)/f(n-1)=2f(1)
所求表达式＝2nf(1)=4n