Question

设随机变量(X,Y)的概率密度为f(x)=2e^-2x,x>0；0,其他。g(y)=3e^-3y; 0 ,其他。 求E(X+Y),E(2X+3Y^2)

Answer 1

首先，根据密度函数。我们发现，X服从参数为2的指数分布，Y服从参数为3的指数分布

E(X+Y)=EX+EY
E(2X+3Y^2)=2EX+3EY^2

由指数分布的性质
EX=1/2
EY=1/3
DY=1/9
EY^2=DY+(EY)^2=1/9+1/9=2/9
代入即可

E(X+Y)=EX+EY=1/2+1/3=5/6

E(2X+3Y^2)=2EX+3EY^2=1+2/3=5/3

Answer 2

X~E(2),Y~E(3)
E(X)=1/2,E(Y)=1/3
D(X)=1/4,D(Y)=1/9
E(X²)=D(X)+E²(X)=1/2
E(Y²)=D(Y)+E²(Y)=2/9
E(X+Y)=E(X)+E(Y)=5/6
E(2X+3Y²)=2E(X)+3E(Y²)=1+6/9=5/3
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