Question

长方体ABCD-A1B1C1D1中，AA1=AD=a，AB=2a，E、F分别为C1D1、A1D1中点 （1）求点C到平面BDE的距离。

Answer 1

在平面CDD1C1上作EH⊥CD，垂足H，连结BH，则H是CD的中点，
∵平面CDD1C1⊥平面ABCD，
∴EH⊥平面ABCD，
∴EH⊥BH，
根据勾股定理，BH^2=CH^2+BC^2,
∴BH^2=a^2+a^2=2a^2,
BE^2=EH^2+BH^2=a^2+2a^2=3a^2,
∴BE=√3a,
DE^2=DD1^2+D1E^2=2a^2,
∴DE=√2a,
BD^2=AD^2+AB^2=5a^2,
∴BD=√5a,
DE^2+BE^2=5a^2=BD^2,
∴根据勾股定理逆定理，
△EBD是RT△，
∴S△BDE=DE*BE/2=√2a*√3a/2=√6a^2/2,
设C至平面BDE的距离为h,
VE-BDC=S△BDC*EH/3=(2a*a/2)*a/3=a^3/3,
VC-BDE=S△BDE*h/3=(√6a^2/2)h/3=√6a^2h/6,
a^3/3=√6a^2h/6,
∴h=√6a/3,
∴点C到平面BDE的距离为√6a/3.