Question

计算积分 如图所示，积分范围负无穷到正无穷 ∫(1/2pi)(e^(-(x^2-xy+y^2/4))

计算积分
如图所示，积分范围负无穷到正无穷
∫(1/2pi)(e^(-(x^2-xy+y^2/4)))dx

Answer 1

题和图稍有出入，y^2系数，图为1/2，题为1/4，图正确。被积函数实际是二维随机正态向量(X，Y)的联合分布密度函数f(x，y)，X和Y的均值均为0，X的方差为1，Y的方差为2，X和Y的相关系数为1/√2。本题实际是求Y的边缘分布密度函数fY(y)，二维随机向量联合分布为正态分布时，每个随机向量的边缘分布也是正态分布(逆命题不一定成立)，fY(y)=[1/(2√π)]e^[-(y^2)/4]。如果单纯从计算积分的角度出发，本题需引用一个广义积分∫(-∞→+∞)e^[-(t^2)/2]dt=√(2π)。

追问

我在书上看到了他的边缘分布是一维正态分布，但是想问的就是联合概率密度的边缘分布是怎么求出来的？

追答

由联合概率密度函数求边缘概率密度函数的过程，一般教科书上均有，式子太繁琐，打字太困难。

Answer 2

如果算对了的话。。请给我一些鼓励。。

Answer 3

1/(2√π)*e∧｛-y∧2/4｝