Question

已知椭圆C:x^2+y^2/4=1,直线l y=mx+1,设l交C于AB两点,求AB中点M的轨迹方程,过程麻烦写详细点

Answer 1

将y=mx+1 代入C 中得方程：
(4+m^2)x^2+2mx-3=0 (*)
因为 △=4m^2+12(4+m^2)>0
所以 方程(*)有2个根x1, x2，分别是A，B的x坐标
因为 x1+x2=-2m/(4+m^2)
故 A, B 中点的x坐标为
x=(x1+x2)/2=-m/(4+m^2)
于是
y=mx+1=4/(4+m^2)
即M的参数方程为：
{ x= -m/(4+m^2) -∞<m<+∞ （1）
{ y= 4/(4+m^2) -∞<m<+∞ （2）

化为直角坐标系方程：
（1）式乘x 得 x^2=-mx/(4+m^2)= -(y-1)/(4+m^2)
除以（2）得
x^2/y=-(y-1)/4
整理得 4x^2+y^2-y=0
16x^2+4(y-1/2)^2=1
M的轨迹是焦点在y轴，短半轴a=1/4, 长半轴b=1/2的椭圆。

Answer 2