Question

求定积分，如图。

求定积分，如图。麻烦详细一点，谢谢。

Answer 1

这种定积分可以看做是高斯概率分布求概率。

在这个积分中，方差σ为1，均值μ为0，然后是除了一个系数1/√2πσ。

又因为对高斯概率分布函数从负无穷到正无穷积分为1，那么从0到正无穷积分值是0.5。（高斯概率分布曲线是关于y轴线对称的，为偶函数）

所以最后的结果是0.5/(1/√2πσ)=0.5√2π。

Answer 2

令 x=rcosθ y=rsinθ 
是二重积分极坐标代换 
而dxdy，rdrdθ是积分分别在直角坐标系和极坐标系的面积元素 
当重积分从直角坐标向极坐标转换的时候要乘上一个雅克比行列式的绝对值

因此

Answer 3

伽马函数。

Answer 4

该函数积分书上有公式，就不需要推导了