Question

设f(x)有二阶函数,且f''(x)>0,limx趋于0f(x)/x=1.证明:当x>0时,有f(x)>x

Answer 1

由条件，f(0)＝lim f(x)＝lim f(x)/x * lim x=1*0＝0。
且f'(0)＝lim （f(x)－f(0))/x=lim f(x)/x＝1。
以上极限都是x趋于0。
因为f''(x)>0，故f‘(x)是严格递增的，故f'(x)>f'(0)＝1，
令g(x)＝f(x)－x，g'(x)＝f'(x)－1>0，当x>0时，
g(x)是递增的，故g(x)>g(0)＝f(0)－0＝0，于是得
f(x)>x，当x>0时。