Question

在平面直角坐标系中，直线y=kx+b（k为常数且k≠0）分别交x轴、y轴于点A、B，⊙O半径为 根号5 个单位长度．

在平面直角坐标系中，直线y=kx+b（k为常数且k≠0）分别交x轴、y轴于点A、B，⊙O半径为根号5个单位长度．
（1）如图甲，若点A在x轴正半轴上，点B在y轴正半轴上，且OA=OB．①求k的值；②若b=4，点P为直线y=kx+b上的动点，过点P作⊙O的切线PC、PD，切点分别为C、D，当PC⊥PD时，求点P的坐标．（2）若k=- 12，直线y=kx+b将圆周分成两段弧长之比为1：2，求b的值．（图乙供选用）
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Answer 1

⑴①根据题意得：B的坐标为（0，b），∴OA=OB=b，∴A的坐标为（b，0），代入y＝kx＋b得k＝－1.
②过P作x轴的垂线，垂足为F，连结OD.
∵PC、PD是⊙O的两条切线，∠CPD=90°，
∴∠OPD=∠OPC= ∠CPD=45°，
∵∠PDO=90°，∠POD=∠OPD＝45°，
∴OD＝PD＝根号5 ，OP= .根号10
∵P在直线y＝－x＋4上，设P（m，－m＋4），则OF=m，PF=－m＋4，
∵∠PFO=90°， OF^2＋PF^2＝PO^2，
∴ m2＋ (－m＋4)2＝（根号10 ）2，
解得m=1或3，
∴P的坐标为（1，3）或（3，1）

2）由题意得，当直线被切割的弦长为2Rsin60°时符合题意，联立直线和圆的方程
y=-1/2+b 将解得的两交点坐标用两点间距离公式得 根号（x1-x2)^2+(y1-y2)^2
x^2+y^2=5
解得b1=2.5
b2=-2.5

Answer 2

(1)①k=-1
②若b=4，则y=-x+4，则点A（4,0），点B（0,4）

则OA=OB=4，
∵P在直线y=-x+4上，设P（x，-x+4），连结OC，OD，
则OC⊥CP，OD⊥PD，又∵PC⊥PD
∴四边形PCOD为正方形，
∴PO=根号10，即PO²=10，
∴x²+（-x+4）²=10
解得：x1=1，x2=3
当x1=1时，-x+4=3，当x2=3时，-x+4=3，即
点P（1，3，）或点P(3,1）

Answer 3

解：（1）①根据题意得：B的坐标为（0，b），
∴OA=OB=b，
∴A的坐标为（b，0），
代入y=kx+b得：k=-1．
②过P作x轴的垂线，垂足为F，连接OD、OP，
∵PC、PD是⊙O的两条切线，∠CPD=90°，
∴∠OPD=∠OPC=12∠CPD=45°，
∵∠PDO=90°，∠POD=∠OPD=45°，
∴OD=PD=5，OP=10
∵P在直线y=-x+4上，
设P（m，-m+4），则OF=m，PF=-m+4，
∵∠PFO=90°，OF2+PF2=PO2，
∴m2+（-m+4）2=（10）2，
解得m=1或3，
∴P的坐标为（1，3）或（3，1）
（2）分两种情形，y=-12x+54，或y=-12x-54．
直线y=kx+b将圆周分成两段弧长之比为1：2，
可知其所对圆心角为120°，
如图，画出弦心距OC，可得弦心距OC=52，
又∵直线y=kx+b中k=-
12
∴直线与x轴交得的锐角的正切值为12，即OCAC=
12，
∴AC=5，∴AO=52，即直线与与x轴交于点（52，0）．
∴直线与y轴交于点（54，0），
∴b=54．
当直线与x轴、y轴的负半轴相交，同理可求：b=-
54．
综合以上得：b=54或-
54．

Answer 4

G