Question

如图 四边形ABCD中,∠ADC=∠ABC=90°,AD=CD,DP⊥AB于P,若四边形ABCD的面积是18，求DP长

Answer 1

解：过点D作DE⊥BC交BC的延长线于E
∵DP⊥AB，DE⊥BC，∠ABC=90
∴矩形DPBE
∴∠PDE＝∠E＝90，PD＝BE，DE＝PB
∴∠PDC+∠EDC＝90
∵∠ADC＝90
∴∠PDC+∠PDA＝90
∴∠DEC＝∠PDA
∵∠APD＝∠E＝90,AD＝CD
∴△APD≌△CED （AAS）
∴PD＝DE，S△APD＝S△CED
∴正方形DPBE
∵SABCD＝S△APD+SPDCB，SDPBE＝S△CED+SPDBC
∴SDPBE＝18
∴PD²＝18
∴PD＝3√2

Answer 2

快速解法：特殊情形四边形ABCD为正方形，此时DP=AD=√18=3√2；
大题解法：A.B.C.D四点在以AC为直径，假定半径为R，圆心为O的圆上，连接OB,令∠BOC= α；
那么， S△adc+S△abc=R²（1+sinα）=18;
DP²=[ADsin(45°+α/2)]²=2R²sin²(45°+α/2)]=R²[1-cos(90°+α)]=R²(1+sinα)=18
DP=3√2
题目不难，有点技巧转化。