Question

若函数fx是R上的增函数则Fx=fx-f(-x)+1在R上单调性?

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Answer 1

设任意x1,x2∈R,且x1<x2,
则-x1>-x2，
因为函数fx是R上的增函数，所以
f(x1)<f(x2),f(-x1)>f(-x2)，f(-x2)<f(-x1)
f(x1)-f(x2)<0, f(-x2)-f(-x1)<0
从而
F(x1)-F(x2)=[f(x1)-f(-x1)+1]-[f(x2)-f(-x2)+1]
=f(x1)-f(-x1)+1-f(x2)+f(-x2)-1
=[f(x1)-f(x2)]+[f(-x2)-f(-x1)]
<0,
F(x1)<F(x2),
即有x1<x2,得到F(x1)<F(x2),
从而Fx=fx-f(-x)+1在R上是增函数。