Question

幂级数收敛问题求解！

逐项积分收敛半径不变，但是题目中不是n+1次方，是n次方，此时收敛半径依然不变，请问为什么？

Answer 1

条件是R＝lim sup n次根号(|an|)＝1，因此
lim sup n次根号(|an|/(n+1))＝R/lim n次根号(n+1)＝R/1＝R＝1
收敛半径不变。

追问

上极限高等数学没学过啊。。。。
高等数学之学了比值判别法和根植判别法求收敛半径，是求极限不是求上极限啊。。。
有能运用高等数学学过的解决这个题目吗？

追答

除非你学了Dirichlet判别法，否则就得用上极限来证明。
你们的收敛半径的证明是怎么证明的？
收敛半径的确定就得用上极限。

追问

如果不是抽象级数的话 lim an+1/an 极限和上极限的定义应该不同吧？ 我们就直接n趋近无穷然后得到一个极限值用这个极限值来确定收敛半径
抽象级数就根据 阿贝尔定理了。。。。
你说的上极限要数学分析才学的吧？

追答

我的意思是你们怎么确定有收敛半径这个数的？就是一开始讲幂级数的时候，怎么知道幂级数的收敛范围一定是区间，而不是别的形式，比如是两个区间，或者是一些离散的点？得到了关于收敛半径的那些结果？

追问

阿贝尔定理知道一个幂级数收敛到一个区间内，在区间内绝对收敛，然后就用那个比值判别法来确定这个区间的范围，课本上没提到上极限这个概念

追答

那你们收敛半径的确定就没有完整的证明过，这个结论也就不需要完整证明了。不用上极限证明比较麻烦，我说一下思路吧：若级数anx^n/(n+1)在x0收敛，则由Dirichlet判别法知道
级数anx^n在x0收敛。于是级数anx^n/(n+1)的收敛半径1是不可能的，否则级数anx0^n收敛，那么级数anx^n的收敛半径就大于1了）。
另外，|anx^n|/(n+1)=1。综上，收敛半径是1。