Question

求如图的不定积分

Answer 1

记得解析

Answer 2

分段函数求积分
∫(-1→1) f(x)dx
=∫(0→1) ln(1+x)dx+∫(-1→0) xe^x² dx
先求∫ln(1+x)dx分部积分法：
∫ln(1 + x) dx
= x * ln(1 + x) - ∫x dln(1 + x)
= xln(1 + x) - ∫x / (1 + x) dx
= xln(1 + x) - ∫(1 + x - 1) / (1 + x) dx
= xln(1 + x) - ∫ dx + ∫ dx / (1 + x)
= xln(1 + x) - x + ln(x+1) + C |(0→1)
=ln2-1+ln2
=2ln2-1
再求∫xe^x² dx
令x²=t,dt=2xdx，xdx=dt/2
上式
=∫e^x²* xdx
=∫e^t *dt/2
=e^t/2+C
=e^x²/2+C |(-1→0)
=e^0-e^1/2
=1-√e
所以原式=2ln2-1+1-√e=2ln2-√e

Answer 3

∫ √(1+x²) dx
=x√(1+x²) - ∫ xd√(1+x²)
=x√(1+x²) - ∫ x²dx / √(1+x²)
=x√(1+x²) - ∫ (1+x²-1)dx / √(1+x²)
=x√(1+x²) - ∫ √(1+x²)dx + ∫ dx / √(1+x²)
=x√(1+x²) - ∫ √(1+x²)dx + arcshx + C
移项得 2∫ √(1+x²)dx = x√(1+x²) + arcshx + C
∫ √(1+x²)dx = ½ x√(1+x²) + ½ arcshx + C'

Answer 4

令x^(1/3)=t, 则dx=3t^2dt 带入积分 =∫3t^2e^tdt =∫3t^2de^t 分部积分 =3t^2e^t-∫6te^tdt =3t^2e^t-∫6tde^t =3t^2e^t-6te^t+6∫e^tdt =3t^2e^t-6te^t+6e^t+c 反带入x^(1/3)=t =3x^(2/3)e^(x^(1/3))-6x^(1/3)e^(x^(1/3))+6e^(x^(1/3))+

Answer 5

换元法，分母换为t