Question

如图，已知抛物线经过坐标原点O及A（-2根号3,0），其顶点为B（m，3），C是AB中点，

点E是直线OC上的一个动点（点E与点O不重合），点D在y轴上，且EO=ED
（1）求此抛物线及直线OC的解析式；
（2）当点E运动到抛物线上时，求BD的长；
（3）连接AD，当点E运动到何处时，△AED的面积为四分之三倍根号三，请直接写出此时E点的坐标。（图画的有点不准，将就着看吧；一定要详细的解题过程，拜托了）

Answer 1

(1)O(0,0), A(-2根号3,0)
所以对称轴是(0-2根号3)/2=-根号3=m，B的坐标是(-根号3, 3)

所以现在有三个点的坐标，假设y=ax*x+bx+c, 代入得到三个方程。
解得y=-x^2-2根号3*x
(2)C是AB中点，C的坐标是((-3/2)根号3, 3/2), OC方程就是y=(-1/3)根号3*x
代入抛物线方程，得到E坐标((-5/3)根号3, 5/3), 因为EO=ED，所以D坐标就是(0, 10/3)
所以BD长(2/3)根号7
(3)
设E坐标为(a,b), 则D为(0,2b)

考虑E在x轴上方

△AED=△AEO+△OED-△AOD
=1/2*2根号3*b+1/2*2b*(-a)-1/2*2根号3*2b=-ab-(根号3)b=(3/4)根号3
又有b=(-1/3)根号3*a, 所以解得，b=3/2或-1/2，因为我们考虑的是b>0所以舍去-1/2
所以E((-3/2)根号3, 3/2)
考虑E在x轴下方，
△AED=△OED+△AOD-△AEO
=1/2*(-2b)*a+1/2*2根号3*(-2b)-1/2*2根号3*(-b)=-ab-(根号3)b=(3/4)根号3
同上得到b=3/2或-1/2，舍去3/2
所以E为((1/2)根号3, -1/2)
综上，E为((-3/2)根号3, 3/2)或者((1/2)根号3, -1/2)