Question

数学最值，设a,b为正实数，a^2+b^2=4,求ab/(a+b+2)的最大值。

这题除了用三角代换法外还有什么解法，求高手给出另外的解法，越多越好

Answer 1

可以用拉格朗日乘数法，因为这个问题属于多元函数的条件极值问题

追答

或者利用多元函数的梯度向量求出其在约束曲线
x²+y²=4的
切线方向的方向导数，也可找到多元函数的极值点

Answer 2

因为：(a+b)^2=a^2+b^2+2ab<=2(a^2+b^2)=8
所以：a+b<=2*(根号2)
而：a^2+b^2=4
(a^2+2ab+b^2)-4=2ab
(a+b)^2-4=2ab
(a+b+2)(a+b-2)=2ab
所以：ab/(a+b+2)=(a+b-2)/2<=[2*(根号2)-2]/2=(根号2）-1
所以：ab/(a+b+2)的最大值 = (根号2）-1