如图，抛物线y=ax^2+bx+4与x轴的两个交点分别为A（-4,0）、B（2,0），与y轴交于点C，
（1）求抛物线的函数解析式，并直接写出顶点D的坐标
（2）在直线EF上求一点H，使三角形CDH的周长最小，并求出最小周长
（3）若点K在x轴上方的抛物线上运动，当K运动到什么位置时，三角形EFK的面积最大？并求出最大面积。 展开
根据已知条件画图，如图
(1)
y=ax^2+bx+4，过A（-4,0）、B（2,0）
得0=16a-4b+4
0=4a+2b+4
求得a=-1/2，b=-1
抛物线的函数解析式为y=-1/2x^2-x+4
顶点D坐标为
xD=-b/2a=-1
yD=(4ac-b^2)/4a=9/2
顶点D坐标(-1,9/2)
(2)
根据已知条件得点B为点C关于EF直线的影射点
连接BD交EF于H，根据两点间直线距离最短，又CD为定值
则此时△CDH周长最小
y=-1/2x^2-x+4与y轴交点C坐为（0，4）
设直线BC方程式为y=kx+b，过点B（2,0），点C（0，4）
求得y=-2x+4
设直线EF方程式为y=mx+n
EF⊥BC，m=1/2，过点E（1，2）
求得y=1/2x+3/2
设直线BD方程式为y=ax+c，过点B（2,0），点D（-1,9/2）
求得y=-3/2x+3
直线EF与直线BD交点H
y=1/2x+3/2
y=-3/2x+3
求得x=3/4，y=15/8
点H坐标为（3/4,15/8），点C（0，4），点D（-1,9/2）
CD=√5/2，CH=5/8√13，DH=7/8√13
△CDH的周长=CD+CH+DH=√5/2+3/2√13
(3)
如图求S△EFK最大值，因为EF为定值，即求△EFK以EF为底的高的最大值
由(2)得直线EF方程式为y=1/2x+3/2
E(1,2)，F(-3,0)
EF=2√5
取直线L平行于直线EF，且与y=-1/2x^2-x+4相切于点K，则K即为所求点
设直线L方程式为y=ax+b
求得a=1/2
1/2x+b=-1/2x^2-x+4只有一个实数解
x^2+3x+2b-8=0
(x+a)^2=0
x^2+2a+a^2=0
2a=3
a^2=2b-8
b=41/8
x=-3/2
y=35/8
K点坐标为（-3/2,35/8）
设△EFK以EF为底的高所在直线方程式为y=mx+n
m=-2，过K点（-3/2,35/8）
求得y=-2x+11/8
y=-2x+11/8与EF：y=1/2x+3/2交点坐标（-1/20,59/40）
高=13/20√5
直线L方程式为y=1/2x+41/8
S△EFK=1/2x2√5x13/20√5=13/4
1.设抛物线方程为：y=a(x+4)(x-2),且经过点C(0,4),于是带入，有a=-1/2.
所以抛物线解析式为y=-1/2x^2-x+4,顶点D（-1,9/2）
2.B、C关于直线EF轴对称，于是连接DB交EF于点H，此时△CDH周长最小。
易得BD解析式为y=-3/2x+3,……………………①
BC解析式为y=-2x+4,根据EF⊥BC可设EF解析式为y=1/2x+c，把E(1，2)带入，得出c=3/2，于是EF解析式为y=1/2x+3/2………………②
由①②，得出x=3/4,y=15/8.得出H（3/4,15/8）
3.由方程②得出F（-3,0）
设K横坐标为d，则由点K在抛物线上有纵坐标为-1/2d^2-d+4.
过点K作直线KM//OC交EF于点M，M(d,1/2d+3/2)
令F到直线KM距离为h1，E到直线KM距离为h2，于是S△KEF=S△KFM+S△KEM（相减情况不予考虑，因为求面积最大）=1/2（h1+h2)KM
其中h1+h2=1-(-3）=4为定值，所以当KM值最大时面积最大。
KM=-1/2d^2-d+4-(1/2d+3/2)=-1/2d^2-3/2d+5/2,当d=-3/2时，KM最大，此时=-1/2d^2-d+4=35/8
所以K(-3/2，35/8)
16a-4b+4=0
4a+2b+4=0
a=-1/2, b=-1
y=-(x^2)/2-x+4
y=-(x+1)^2/2+9/2 D(-1,9/2)
(2)抛物线y=ax^2+bx+4与y轴交于点C，
y=-(x^2)/2-x+4
x=0
y=4
C(0,4)
直线BC的斜率Kbc=(4-0)/(0-2)=-2
直线EF垂直平分BC,EF的斜率Kef*Kbc=-1
Kef=1/2
直线EF y=x/2+b E(1,2)
b=3/2
y=x/2+3/2
在直线EF上求一点H,使三角形CDH的周长最小
连接DB,交EF于H,则H即为所求的点
直线DB的斜率Kdb=(9/2-0)/(-1-2)=-3/2
y=-3x/2+b b=3
y=-3x/2+3
y=x/2+3/2
H(3/4,15/8)
三角形CDH的周长s=CD+DH+CH=(根号5)/2+(7根号13)/8+(5根号13)/8=(根号5+3根号13)/2
(3)若点K在x轴上方的抛物线上运动，当K运动到什么位置时，三角形EFK的面积最大？并求出最大面积。
直线EF y=x/2+3/2
F在x轴上,F(x,0)
0=x/2+3/2
x=-3
F(-3,0)
当K(x, -x^2/2-x+4)到EF的距离最大时，三角形EFK的面积最大
d=I x+x^2+2x-8+3 I/根号5=I x^2+3x-5 I/根号5=I (x+3/2)^2-29/4 I/根号5
当x=-3/2时 K到EF的距离最大 29 /(4根号5)
三角形EFK的面积S=d*EF/2=29 /(4根号5)*(2根号5)/2=29/4
(2)△CDH的周长=CD+DH+HC，CD长度固定，所以只需求DH+HC长度最小即可，
因为EF垂直平分BC，所以HC=HB，DH+HC=DH+HB，
可以看出当D、H、B三点在同一直线时候，DG+GB最短，等于BD，
所以当H点和BD与EF的交点重合时，△CDH的周长最短
此时△CDH的周长=CD+BD，B、C、D三点坐标已知，求距离即可，最短周长是(3√13+√5) /2
(3)B、E坐标已知，F点在x轴上，△BEF是直角三角形，可以计算出F点坐标(-3,0
可以得出直线EF的表达式为y=0.5x+1.5
△EFK中，EF固定，K点到直线EF的距离h为高，那么当h最大时，面积就最大
设K点坐标(x，-0.5x^2-x+4)，则根据点到直线的垂直距离计算公式，可以得到点K到直线EF的距离表达式 h= |(x+1.5)^2-7.25|√5，由此可以判断在x轴上方，即-4＜x2范围内，当x=1.5时，h最大，此时△EFK面积最大，为7.25
4a+2b+4=0
所以 a=-1/2 b=-1
解析式 y=-1/2x^2-x+4 顶点D(-1,9/2)
(2) 直线BC的斜率 K=(0-4)/(2-0)=-2
因为 EF垂直平分BC 所以 直线EF 的斜率K1=-1/K=1/2
所以直线EF为 Y=1/2X+3/2
因为C关于直线EF对称的点为B ,则连接DB交EF于H ,此时DCH 的周长最短
直线DB的方程 Y=-3/2X+2
点H (1/4,13/8)
CD 的长为 (根号5)/2 DB 的长为 3*根号2
所以 CDH 周长最短为 3*根号2+(根号5)/2
(3) 点到直线的距离 |1/2X+3/2-Y|/根号下(5/4)
|X+3+X^2+2X-8|/根号5=|(X+3/2)^2-29/4|/根号5
对抛物线X轴上的点 当X=-3/2时 距离最大为 29*根号5/20
所以当K 运动到(-3/2,35/8)时,S -EFK面积最大
EF长为2根号5
S-EFK=1/2*2根号5*29*根号5/20=29/4
