Question

高中数列问题，求大神赐教!

Answer 1

1. a(n+1)=5/2-1/an
a(n+1)-2=1/2-1/an
因为 bn=1/(an-2),b1=-1
所以 a(n+1)-2=1/b(n+1)
1/2-1/an=1/(2*an*bn)
即：b(n+1)=2an*bn 带入bn=1/(an-2)，消去an,得：
[b(n+1)+2/3]/[bn+2/3]=4
bn+2/3=4^(n-1)*(b1+2/3),即：
bn=[-2-4^(n-1)]/3

2. a(n+1)=c-1/an
又 0<1=a1<an<a(n+1)<3
所以：an<c-1/an
即an+1/an<c 又 0<1=a1<an<a(n+1)<3
因为f(x)=x+1/x,在[1,3)上是增函数，所以：an+1/an在[1,3)上最大值为3+1/3=10/3
即： c>10/3能满足an<a(n+1)<3

追问

参考答案是(2，10/3〕哦，不过它好像一开始就知道答案，然后再证明答案是正确的，c>10/3是不符合要求的，打死看不懂。老师也不懂。这是10年全国一最后一题，求解析。

参考答案是(2，10/3〕哦，不过它好像一开始就知道答案，然后再证明答案是正确的，c>10/3是不符合要求的，打死看不懂。老师也不懂。这是10年全国一最后一题，求解析。

追答

an+1/an的取值区间为[2,10/3)
而c>an+1/an,所以c应该大于an+1/an的最大值，怎么会是（2,10/3）呢？你在看看。。可能很久没做数学题了，我在考虑考虑。。。

a(n+1)=c-1/an
c=a(n+1)+1/an
因为： 03+1/an>3+1/3
即：10/3<3+1/an<=4
因为：c=a(n+1)+1/an<3+1/an
所以：c=a(n+1)+1/an<=10/3 (小于小的)

1+1/1<=an+1/an<3+1/3
2<=an+1/an<10/3
因为： an+1/an<c=a(n+1)+1
所以： 2 <c=a(n+1)+1/an (大于大的)

综上： 2<C<=10/3