Question

已知椭圆x^2/9+y^2/4=1,过A(0,2)作PA⊥QA,P,Q均在椭圆上,试问直线PQ是否恒过一定点 并求出定点

Answer 1

设直线PA的方程为y=kx+2，带入椭圆方程得：(4+9k^2)x^2+36kx=0。
由于已知一个点为A(0,2)，可得P点为(-36k/(4+9k^2)，(8-18k^2)/(4+9k^2))
由于QA⊥PA，所以可设直线QA的方程为y=(-1/k)x+2，
带入椭圆方程得：(1/9 + 1/(4k^2))x^2=x/k。
由于已知一个点为A(0,2)，可得Q点为(36k/(4k^2+9) ，(8k^2-18)/(4k^2+9))

这里可以求出直线PQ就可以拿出不动点为(0，-10/13)了
不过计算有点麻烦。其实这个题我们可以看出如果直线有不动点，那它一定在y轴上。
假设不动点H不在y轴上的话，可得与H关于y轴对称的H‘也是直线的不动点，显然矛盾。
所以不动点在y轴上，由OH=λOP+(1-λ)OQ公式，
让-36k/(4+9k^2)×λ+(1-λ)×36k/(4k^2+9)=0，得λ=(4+9k^2)/(13+13k^2)
则(8-18k^2)/(4+9k^2)×λ+(8k^2-18)/(4k^2+9)×(1-λ)=-10/13。
也可以算出不动点的坐标