Question

求证：过椭圆上一点作两条垂直直线交椭圆于两点，这两点连线必过定点，并求出定点坐标。

焦点在x轴……求给出详细证明过程，要一般性结论不要例题。
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Answer 1

令椭圆为x^2/a^2+y^2/b^2=1（a>b>0）
令椭圆上一点为P(x0,y0)。过点P作PA⊥PB，交椭圆于A(x1,y1)、B(x2,y2)
令AB所在直线为y=kx+m（假设AB所在直线的斜率存在）

由斜率公式有
kpa=(y1-y0)/(x1-x0)（此时x1≠x0，即PA不垂直于x轴）
kpb=(y2-y0)/(x2-x0)（此时x2≠x0，即PB不垂直于x轴）
因PA⊥PB，则有kpa·kpb=-1
即有(x1-x0)(x2-x0)+(y1-y0)(y2-y0)=0
即有[x1x2-(x1+x2)x0+x0^2]+[y1y2-(y1+y2)y0+y0^2]=0（I）

联立直线AB与椭圆方程有(b^2+k^2a^2)x^2+2kma^2x+(m^2a^2-a^2b^2)=0
由韦达定理有
x1+x2=-2kma^2/(b^2+k^2a^2)（II）
x1x2=(m^2a^2-a^2b^2)/(b^2+k^2a^2)（III）
又A、B都在直线AB上，则有
y1=kx1+m
y2=kx2+m
两式相加并结合（II）得
y1+y2=k(x1+x2)+2m=2mb^2/(b^2+k^2a^2)（IV）
两式相乘并结合（II）（III）得
y1y2=k^2x1x2+km(x1+x2)+m^2=(m^2b^2-k^2a^2b^2)/(b^2+k^2a^2)（V）

将（II）~（V）代入（I）有
a^2[(kx0+m)^2+b^2(x0^2/a^2-1)]+b^2[(y0-m)^2+k^2a^2(y0^2/b^2-1)]=0
注意到P在椭圆上，则x0^2/a^2+y0^2/b^2=1
即有x0^2/a^2-1=-y0^2/b^2
y0^2/b^2-1=-x0^2/a^2
于是有a^2[(kx0+m)^2-y0^2]+b^2[(y0-m)^2-k^2x0^2]=0
即有a^2(kx0+m-y0)(kx0+m+y0)+b^2(y0-m-kx0)(y0-m+kx0)=0
即有a^2(kx0+m-y0)(kx0+m+y0)=b^2(kx0+m-y0)(y0-m+kx0)
因P不在直线AB上，则kx0+m-y0≠0
所以有a^2(kx0+m+y0)=b^2(y0-m+kx0)
整理得m=(b^2-a^2)(kx0+y0)/(a^2+b^2)
代入直线AB得
y=kx+m=kx+(b^2-a^2)(kx0+y0)/(a^2+b^2)
即有y-(b^2-a^2)y0/(a^2+b^2)=k[x-(a^2-b^2)x0/(a^2+b^2)]
表明直线AB过定点（(a^2-b^2)x0/(a^2+b^2)，(b^2-a^2)y0/(a^2+b^2)）

以下还需要验证两个特殊情形：
（1）若直线PA与PB有一条直线垂直于x轴时，即kpa或kpb斜率不存在时，此时AB仍过定点（(a^2-b^2)x0/(a^2+b^2)，(b^2-a^2)y0/(a^2+b^2)）
证明：令PA垂直于x轴，则PB平行于x轴
由椭圆的对称性易知A(x0,-y0)，B(-x0,y0)
由两点式有直线AB：y-y0=[(y0+y0)/(-x0-x0)](x+x0)
即y=-(y0/x0)x
显然(b^2-a^2)y0/(a^2+b^2)=-(y0/x0)[(a^2-b^2)x0/(a^2+b^2)]
即AB过定点
（2）若直线AB垂直于x轴，即AB的斜率不存在，此时AB仍过定点（(a^2-b^2)x0/(a^2+b^2)，(b^2-a^2)y0/(a^2+b^2)）
证明：令直线AB为x=m（显然-a<m<a），代入椭圆方程有
y1=-b/a√(a^2-m^2)，y2=b/a√(a^2-m^2)
则A（m，-b/a√(a^2-m^2)），B（m，b/a√(a^2-m^2)）
注意到，AB斜率不存在时，PA、PB斜率一定都存在
由斜率公式有
kpa=[y0+b/a√(a^2-m^2)]/(x0-m)
kpb=[y0-b/a√(a^2-m^2)]/(x0-m)
因PA⊥PB，则有kpa·kpb=-1
即[y0^2-b^2/a^2(a^2-m^2)]/(x0-m)^2=-1
即(a^2y0^2-a^2b^2+b^2m^2)+a^2(x0-m)^2=0
而P在椭圆上，即有a^2y0^2-a^2b^2=-b^2x0^2
所以有b^2(m^2-x0^2)+a^2(x0-m)^2=0
即(x0-m)[(a^2-b^2)x0-(a^2+b^2)m]=0
又因P为在AB上，则x0≠m
所以(a^2-b^2)x0-(a^2+b^2)m=0
即m=(a^2-b^2)x0/(a^2+b^2)
显然此时AB（x=m）过定点（(a^2-b^2)x0/(a^2+b^2)，(b^2-a^2)y0/(a^2+b^2)）

综上，过椭圆上一点作两条垂直直线交椭圆于两点，这两点连线必过定点。（这也就是圆锥曲线直角弦的重要性质之一）

Answer 2

全都设出来，不要怕麻烦，最后就看你的消功了，消参数的能力，不要认为圆锥曲线难