Question

数学问题求解答

数学问题求解答第八题

Answer 1

要证明p=q，关键在于推导MA=BN。
由题可知，Ip和Iq都是单位矩阵，M与N皆可逆。不妨将MA=BN的两边左乘M的逆矩阵M^-1，得到：
A=M^-1BN
可以看到：上式的右边相当于给B做初等行变换和初等列变换，不会改变B的秩，即秩(B)=秩(M^-1BN)，而既然A=M^-1BN，则必然有秩(A)=秩(M^-1BN)，从而秩(A)=秩(B)。
有了秩(A)=秩(B)，由题可知，秩(A)=p，秩(B)=q，故而p=q，得证。