Question

这道极限题怎么做

Answer 1

其实蛮简单的啦
最好用Taylor展式了。
sinx-xcosx=x-x^3/6-x(1-x^2/2)+o(x^3)=x^3/3+o(x^3)，
因此e^(sinx-xcosx)=e^(x^3/3+o(x^3))=1+x^3/3+o(x^3)，
另外，sinx/x=(x-x^3/6+o(x^3))/x=1-x^2/6+o(x^2)，
cosx=1-x^2/2+o(x^2)，

因此原式先分子分母同除以xe^(xcosx)，得
=lim 【(sinx/x)e^(sinx-xcosx)-cosx】/x^2 *lim e^(-xcosx)
=lim 【(1-x^2/6+o(x^2))(1+x^3/3+o(x^3))-(1-x^2/2+o(x^2)】/x^2
=lim 【(1/2-1/6)x^2+o(x^2)】/x^2
=1/3

Answer 2

e^sinx=1+sinx+(sinx)^2/2+o(x^2)
e^(xcosx)=1+xcosx+(xcosx)^2/2+0(x^2)
原始=lim[sinx+(sinx)^2+(sinx)^3/2-xcosx-(xcosx)^2-(xcosx)^3/2]/x^3
=lim[sinx-xcosx+(sinx)^2-(xcosx)^2]/x^3+lim[(sinx)^3]/(2x^3)-lim[x^3cos^3x]/(2x^3)
=lim[sinx-xcosx+(sinx)^2-(xcosx)^2]/x^3+1/2-1/2
=lim[sinx-xcosx+(sinx)^2-(xcosx)^2]/x^3
=lim(sinx-xcosx)(1+sinx+xcosx)/x^3
=lim(sinx-xcosx)/x^3
再利用sinx=x-x^3/6+o(x^3) cosx=1-x^2/2+o(x^3)
=lim[x-x^3/6-x+x^3/2]/x^3
=1/2-1/6=1/3

Answer 3

最好用Taylor展式了。
sinx-xcosx=x-x^3/6-x(1-x^2/2)+o(x^3)=x^3/3+o(x^3)，
因此e^(sinx-xcosx)=e^(x^3/3+o(x^3))=1+x^3/3+o(x^3)，
另外，sinx/x=(x-x^3/6+o(x^3))/x=1-x^2/6+o(x^2)，
cosx=1-x^2/2+o(x^2)，

因此原式先分子分母同除以xe^(xcosx)，得
=lim 【(sinx/x)e^(sinx-xcosx)-cosx】/x^2 *lim e^(-xcosx)
=lim 【(1-x^2/6+o(x^2))(1+x^3/3+o(x^3))-(1-x^2/2+o(x^2)】/x^2
=lim 【(1/2-1/6)x^2+o(x^2)】/x^2
=1/3。