Question

设椭圆C:x2/a2+y2/b2=1 的左焦点为F,过点F的直线与椭圆C相交于A、B两点，直线l的倾斜角为60度，

设椭圆C:x2/a2+y2/b2=1 的左焦点为F,过点F的直线与椭圆C相交于A、B两点，直线l的倾斜角为60度，向量AF=2向量FB。如果lABl=15/4,求椭圆C的方程。
(2)解析：|AB|=√(1+1/3)*|y1-y2|=15/42√3/3*|y1-y2|=15/4==>|y1-y2|=15√3/8由(1)知y1=-2y2==>y2=5√3/8∵e=2/3，∴a=3, b=√5∴x^2/9+y^2/5=1问一下这个|AB|=√(1+1/3)*|y1-y2|=15/4是从何而来，求详细解释过程，解析

Answer 1

弦长公式:|AB|=|x1-x2|√(1+k^2),
或,|AB|=:|AB|=|y1-y2|√(1+1/k^2),
AB椭圆的弦,设A(x1,y1),B(x2,y2),则AB斜率k=(y1-y2)/(x1-x2)
|AB|=√[(x1-x2)^2+(y1-y2)^2]=|x1-x2|√[1+(y1-y2)^2/(x1-x2)^2]=|x1-x2|√(1+k^2)
或|AB|=|y1-y2|√[(x1-x2)^2/(y1-y2)^2+1]=|y1-y2|√(1+1/k^2).
直线斜率k=tan60°=√3,
∴直线y=√3(x+c), k=√3,
∴|AB|=|y1-y2|√[1+(1/√3)^2]=(2/√3)|y1-y2|=15/4.
∵向量AF=2FB,
∴|AF|=2|FB|,
|y1|=2|y2|,y2为正,y1为负,
∴y1=-2y2,
∴3y2*2/√3=15/4,
∴y2=5√3/8,y1=-5√3/4,
这里很麻烦，y1=-(2|AB|/3)*sin60°=-（2/3）*（15/4）*√3/2=-5√3/4，
y2=|AB|/3)*sin60°=5√3/8.
以上是我给你对答案的解释。

以下是我的解法。
作椭圆的左准线l,AA1⊥l,BB1⊥l,垂足A1、B1，
离心率e,根据第二定义，
AF/AA1=BF/BB1=e,(绝对值符号省略）
AF/BF=AA1/BB1=2，
作BH⊥AA1，A1H=BB1，
∴A1H=AH，
∴BH是AA1的垂直平分线，
∴△AA1B是正△，
∴AA1=AB，
∴e=AF/AA1=2/3,
c/a=2/3,
c=2a/3,
b=√（a^2-4a^2/9)=√5a/3,
利用焦点弦公式：|AB|=2ab^2/[a^2-c^2(cosθ)^2]=(2b^2/a)/[1-e^2(cosθ)^2]
=[2*5a^2/(9a)]/[1-(4/9)*1/4]=15/4,
(10a/9)/(1-1/9)=15/4,
5a/4=15/4,
∴a=3,
b=√5，
∴椭圆方程为：x^2/9+y^2/5=1.

我给你证明了公式和过程，但在此题中用该公式较烦琐。