Question

设f(x)在[0,1]上连续，证明f(x)^2的定积分大于等于f(x)的定积分的平方

令a=∫(0,1)f(x)dx
0<=∫(0,1)(f(x)-a)^2dx这一步是为什么？？看不懂？？急求赐教！

Answer 1

证明：根据题意是要证明∫(0,1)(f(x))^2dx≥(∫(0,1)f(x)dx)^2。

那么令a=∫(0,1)f(x)dx，那么(a-f(x))^2≥0，则

∫(0,1)(a-f(x))^2dx≥0，即

∫(0,1)(a^2-2*a*f(x)+(f(x))^2)dx≥0，那么

∫(0,1)a^2dx-∫(0,1)(2*a*f(x))dx+∫(0,1)(f(x))^2dx≥0，

a^2-2a*∫(0,1)f(x)dx+∫(0,1)(f(x))^2dx≥0，那么，

∫(0,1)(f(x))^2dx≥2a*∫(0,1)f(x)dx-a^2

又因为a=∫(0,1)f(x)dx，那么，

∫(0,1)(f(x))^2dx≥2*∫(0,1)f(x)dx*∫(0,1)f(x)dx-(∫(0,1)f(x)dx)^2，即

∫(0,1)(f(x))^2dx≥2*(∫(0,1)f(x)dx)^2-(∫(0,1)f(x)dx)^2，那么

∫(0,1)(f(x))^2dx≥(∫(0,1)f(x)dx)^2

扩展资料：

1、不等式的性质

（1）如果x>y，那么y<x，如果y<x，那么x>y。

（2）如果x>y，y>z，那么x>z。

（3）如果x>y，z>0，那么xz>yz，如果x>y，z<0，那么xz<yz。

2、定积分的性质

（1）对于定积分∫(a,b)f(x)dx，当a=b时，∫(a,b)f(x)dx=0。

（2）对于定积分∫(a,b)f(x)dx，如果在区间[a,b]上，f(x)≥0，则∫(a,b)f(x)dx≥0。

（3）代数和的积分等于积分的代数和。即∫(a,b)(f(x)±g(x))dx=∫(a,b)f(x)dx±∫(a,b)g(x)dx。

参考资料来源：百度百科-不等式

参考资料来源：百度百科-定积分

Answer 2

就是书上的性质5，详情如图所示

Answer 3

好！ 令 F(x) = xf(x) - ∫[x,1] f(t) dt F(x)在[0,1]连续 F(0) = - ∫[0,1] f(t) dt < 0 F(1) = f(1) > 0 因此存在 ξ∈(0,1) 使 F(ξ) = 0 即 ξf(ξ) = ∫[ξ,1] f(t) dt

Answer 4

a是f在[0,1]上的平均值。
后面的积分是方差的平均值。方差是平方和，当然≥0

Answer 5

证：令∫(0,1)f(x)dx=a，根据定积分性质4，
可知∫(0,1)［f(x)-a］ˆ2dx≥0,将平方展开
可得∫(0,1)［fˆ2(x)-2f(x)a+aˆ2］dx≥0，整理式子
得到∫(0,1)f(x)ˆ2dx+∫(0,1)f(x)ˆ2dx≥2(∫(0,1)f(x))ˆ2,
即∫(0,1)f(x)ˆ2dx≥(∫(0,1)f(x))ˆ2，证毕。