Question

大一高数选择题求解 回答号的话有追加 感激不尽

答案我写出来了 希望可以得到很详细的解释 有点多｀｀ 麻烦了

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Answer 1

解法如下：
1、先求ln(1+x)的麦克劳林公式：
ln(1+x)=x-(1/2)x^2+(1/3)x^3-(1/4)x^4……+[(-1)^(n+1)x^n]/n
用x^2替换上式中x:
ln(1+x^2)=x^2-(1/2)x^4+(1/3)x^6-(1/4)x^8……+[(-1)^(n+1)x^2n]/n
即：ln(1+x^2)=x^2-(1/2)x^4+(1/3)x^6-(1/4)x^8……+o(x^2n)
上式中x^2009项显然不存在，故对f(x)求2009阶导数后，f(0)的2009阶导数为0
2、当x→0+, f(x)=arctg1/x=π/2
当x→0-, f(x)=arctg1/x=-π/2
在零点极限存在，但左极限不等于右极限，故为跳跃间断点。
3、f(x)=xe^(x^2+1)=xee^(x^2)
根据泰勒公式：e^(x^2)=1+x^2+(1/2)x^4+(1/6)x^6……
所以：f(x)=e[x+x^3+(1/2)x^5+(1/6)x^7……]
上式的规律是：只有1、3、5、7等奇数项，显然2008项为0，故在x=0点的2008阶导数为0
4、此题主要是如何找点关键点
选取x=1和x=-1点
当x>1时，x^2n为正无穷大，此时f(x)=1/x, 当x→1+时，显然f(x)=1
当x=1时，f(x)=(a+b+1)/2
如果要在1点f(x)保持连续，必须f(x)=(a+b+1)/2=1，所以a+b=1
利用当x<1时也能求出上述关系式。
另外取x=-1点：
当x<-1时，x^2n趋向于负无穷，f(x)=1/x, 此时当x→ -1-, f(x)=-1
当x=-1时，f(-1)=(a-b-1)/2
要在x=-1点保持连续，显然：f(-1)=(a-b-1)/2=-1，所以:a-b=-1
联立后可得：a=0,b=1
5、原式可变为=limf'(a)/(x-a)=-1
根据极限的保号性：在点a的某个邻域内必定存在f'(a)/(x-a)<0
所以当x>a，f'(a)<0
当x<a, f'(a)>0
故f(x)在a点左侧递增，右侧单调递减，故选C

6、此题需要用麦克劳林公式展开：
cosx=1-(1/2)x^2+(1/24)x^4……
e^x=1+x+(1/2)x^2+(1/6)x^3……
用-(1/2)x^2替换上式中x:
e^[-(1/2)x^2]=1-(1/2)x^2+(1/8)x^4-(1/48)x^6……
所以：f(x)=cosx-e^[-(1/2)x^2]=(1/8)x^4+o(x^5)
显然当x→0, f(x)是x^4的同阶但非等价无穷小。

另外此题f(x)中e^[-(1/2)x^2]非常模糊，看不清楚e的指数上面是否有负号，我是根据选项按照有负号计算的。

7、f'(x)=2/(1+x)(1-x)
所以：f'(0)=2
f(x)=ln(1+x)-ln(1-x)
根据泰勒公式展开：
ln(1+x)=x-(1/2)x^2+(1/3)x^3-(1/4)x^4……
把上式中的x换成-x,即为：
ln(1-x)=-x-(1/2)x^2-(1/3)x^3-(1/4)x^4……
所以：
f(x)=ln(1+x)-ln(1-x)=2[x+(1/3)x^3+(1/5)x^5……]
上式中x^2009的项为：2[(1/2009)x^2009]
显然它的2009阶导数为：2*2008!

以上答案仅供参考，如有疑问，可继续追问！

追问

太棒啦！！ 谢谢 不过最后一道题怎么做呢 是看不清吗 那个是e的2分之x平方

追答

最后那道题和前面那道题目好像一样的吧