Question

高数定积分这一步咋出来的？

Answer 1

对sinx泰勒展开，再除以x有： sinx/x=1-x^2/3!+x^4/5!+…+(-1)^(m-1)x^(2m-2)/(2m-1)!+o(1) 两边求积分有： ∫sinx/x·dx =[x/1-x^3/3·3!+x^5/5·5!+…+(-1)^(m-1)x^(2m-1)/(2m-1)(2m-1)!+o(1)] 从0到无穷定积分则将0，x(x→00）（这里的x是一个很大的常数，可以任意取）代入上式右边并相减，通过计算机即可得到结果 以上只是个人意见，以下是高手的做法：（高手出马，非同凡响！）考虑广义二重积分 I=∫∫ e^(-xy) ·sinxdxdy D 其中D = [0,+∞)×[0,+∞)，今按两种不同的次序进行积分得 I=∫sinxdx ∫e^(-xy)dy 0 +∞ 0 +∞ = ∫sinx·(1/x)dx 0 +∞ 另一方面,交换积分顺序有： I=∫∫ e^(-xy) ·sinxdxdy D =∫dy ∫e^(-xy)·sinxdx 0 +∞ 0 +∞ =∫dy/(1+y^2）=arc tan+∞-arc tan0 0 +∞ = π/2 所以： ∫sinx·(1/x)dx=π/2 0 +∞