Question

如图3，△ABC中，∠ACB=90°，AC=Bc，BD是中线，CE⊥BD于点E，交AB于点F。求证：

如图3，△ABC中，∠ACB=90°，AC=Bc，BD是中线，CE⊥BD于点E，交AB于点F。求证：∠ADF=∠CDe

Answer 1

证明：以BC、CA为两边作正方形BCAG

取AG的中点H，连接CH交BD于E'
容易证明△CAH≌△BCD
∴ ∠HCA=∠DBC，∠CHA=∠BDC
因此 ∠HCA+∠BDC=∠DBC+∠BDC=90°
就是 △CDE'中的∠E'CD+∠E'DC=90°
∴ ∠CE'D=90°
故E'与E重合，同时F在CH上
在△FDA与△FHA中
∵ FA=FA，DA=HA，∠FAD=∠FAH=45°
∴ △FDA≌△FHA
从而 ∠ADF=∠FHA=∠CDE

Answer 2

取AG的中点H，连接CH交BD于E'
容易证明△CAH≌△BCD
∴ ∠HCA=∠DBC，∠CHA=∠BDC
因此 ∠HCA+∠BDC=∠DBC+∠BDC=90°
就是 △CDE'中的∠E'CD+∠E'DC=90°
∴ ∠CE'D=90°
故E'与E重合，同时F在CH上
在△FDA与△FHA中
∵ FA=FA，DA=HA，∠FAD=∠FAH=45°
∴ △FDA≌△FHA
从而证得 ∠ADF=∠FHA=∠CDE