Question

如果已知一个函数的定积分，那么能不能求出这个函数？这是一个实际问题，如果条件不足我还能给出其他条件

例如： 对于任意的x2>x1》0都有
f(x)dx从x1积分到x2=k（f(x1)^2-f（x2)^2)
f(0)=a>0 a和k都是正常数
那么求当f(x）=0 时的x值

简单的看f(x) =-2k x就能满足，但是对于 f(0)=0不对啊！，是不是通过一个这样的定积分函数求出来的函数不唯一啊？还是说这个问题根本就不用求出函数本身。

Answer 1

如果已知一个函数的定积分，不能求出这个函数。

因为定积分通常是一个具体的数值，等于这个结果的函数的积分太多……

追问

那么能不能求出我说的f(x)=0这个点时x的值呢？
因为我已经给出了f（0）=a了啊

追答

应该不能

追问

别应该啊，能否给举几个例子，或者证明一下，我这个是算一个体积的排气时间的具体问题。

Answer 2

2ak。
推导如下：既然x2,x1具有任意性，那么我们把“f(x)dx从x1积分到x2”理解为是关于x2的变上限积分，“f(x)dx从x1积分到x2=k（f(x1)^2-f（x2)^2)”两边对x2求导，得到f(x2)[1+2kf'(x2)]=0，而f(0)=a>0，因此f(x2)不能为零函数。所以，f'(x2)=-1/2k，加初值：f(0)=a，求得f(x)=-x/2k+a。令f(x)=0，解出x=2ak。

Answer 3

这题等价于解方程 ∫f(x)dx=-kf^2(x) 两边求导有f(x)=-2kf'(x)f(x)约去f(x)得f'(x)=-1/2k 再两边积分有f(x)=-x/2k+C C是任意常数 再结合初值条件f(0)=a得C=a 故f(x)=-x/2k+a

追问

f(x)=-x/2k+a用这个函数你几分一下看看是不是=-kf^2(x) ？？？？根本不对啊。
应该还有一个a(x2-x1）啊
方法好像对，但是好像计算出了些问题？？？自己再检查一下

追答

米有错啊， ∫x1x2f(x)dx=(x1^2-x2^2)/4k+a(x2-x1) -k(f^2(x1)-f^2(x2))=-(x^2-x1^2)/4k+a(x2-x1)满足条件啊~但是把定积分化成不定积分那一步有点问题，不过答案肯定是对的

追问

能不能把那个推导过程帮我写出来啊？我可以先给你满意答复，最好能发到我的邮箱里面吧
mahongbo_cv@yahoo.com.cn

追答

你看楼下的内个用变上限积分的做法的吧~正确做法应该是那个

Answer 4

那个函数要加个常数的 具体常数同学自己求了额 也不难 愿学习进步

追问

怎么会还有常数啊？有了常数不就多出来一个fx1-fx2了吗？

追答

。有了解释了