Question

设f(x,y)有二阶连续偏导数，g(x,y)= f(e^xy,x^2+y^2),且f(x,y)=1

设f(x,y)有二阶连续偏导数，g(x,y)= f(e^xy,x^2+y^2),且f(x,y)=1为什么f'1（1,0）和f'2（1，0）=-1呢？求大神指点，思考很久了，又没有人可以问

Answer 1

设f(x，y)有二阶连续偏导数，g(x，y)= f(e^xy，x^2+y^2)，且f(x，y)=1解题思路：

由题意，可知f（x，y0）在点x=x0和f（x0，y）在y=y0都取得极小值，而f（x，y）具有二阶连续偏导数，因此，由一元函数的极值判定定理，得f″xx（x0，y0）≥0，f″  yy（x0，y0）≥0，故f″xx（x0，y0）+f″  yy（x0，y0）≥0。

二阶连续偏导数推出二阶混合偏导数相等。实际上如果对x，y的偏导在某点P的邻域存在，在P处可微，也可以推导处二阶混合偏导可交换的性质。

性质分析

在一元函数中，导数就是函数的变化率。对于二元函数研究它的“变化率”，由于自变量多了一个，情况就要复杂的多。在 xOy 平面内。

当动点由 P(x0，y0) 沿不同方向变化时，函数 f(x，y) 的变化快慢一般说来是不同的，因此就需要研究 f(x,y) 在 (x0，y0) 点处沿不同方向的变化率。

Answer 2

极限等于0 即有高阶无穷小。再移项就得你划线的等式 ，我们知道全微分的定义式有   全增量△Z=A△x+B△y+o(ρ) 后面的ρ=根号下（△x）的平方+(△y)的平方 而全微分记为 dz=A△x+B△y 其中A就是对x的偏导 B是对y的偏导 在你的题目中 △x即为x-1 △y即为y 很显然 A=-1 B等于-1 详细参考同济七版72页73页 点赞吧 我是hhb

Answer 3

简单分析一下即可，详情如图所示

Answer 4

由题设极限可知x趋向于1，y趋向于0时f的函数表达式。题目要求g(0,0)也就是求f(1,0)，把x＝1,y＝0带入求得f值，和f的偏导值。后面就求一下ABC，判断极大还是极小就行了

Answer 5

令z=f(u，v)，u=x^2-y^2，v=e^xy. az/ax=(az/au)×(au/ax)+(az/av)×(av/ax)=(az/au)×(2x)+(az/av)×(e^xy)×y az/ay=(az/au)×(au/ay)+(az/av)×(av/ay)=(az/au)×(-2y)+(az/av)×e^xy×x a^2z/axay=a(az/ax)/ay=[(a^2z/au^2)×(-4xy)+(a^2z/auav)×(e^xy)