Question

如图，在△ABC中，AB=AC,∠BAC=90°，分别过B,C向过点A的直线作垂线，垂足为E,F.

(1)如图1，过点A的直线与斜边BC不相交时，证明：EF=BE+CF;(2) 如图2，过点A的直线与斜边BC相交时，其他条件不变。你能得出什么结论？请你给出证明。

Answer 1

（1）证明：∵BE⊥EA，CF⊥AF，
∴∠BAC=∠BEA=∠CFE=90°，
∴∠EAB+∠CAF=90°，∠EBA+∠EAB=90°，
∴∠CAF=∠EBA，
在△ABE和△CAF中，
∠BEA=∠AFC=90°，∠EBA=∠CAF，AB=AC，
∴△BEA≌△AFC．
∴EA=FC，BE=AF．
∴EF=EA+AF=BE+CF．
（2）结论：EF=BE-CF，
理由是：∵BE⊥EA，CF⊥AF，
∴∠BAC=∠BEA=∠CFE=90°，
∴∠EAB+∠CAF=90°，∠ABE+∠EAB=90°，
∴∠CAF=∠ABE，
在△ABE和△ACF中，
∠BEA=∠AFC=90°，∠EBA=∠CAF，AB=AC，
∴△BEA≌△AFC．
∴EA=FC，BE=AF．
∵EF=AF-AE，
∴EF=BE-CF．

Answer 2

dk