Question

已知椭圆C：x²/a²+y²/b²=1(a>b>0)的左右顶点分别为AB，

已知椭圆C：x²/a²+y²/b²=1(a>b>0)的左右顶点分别为AB，点P在椭圆上且异于AB两点，O为坐标原点。若|AP|=|OA|，求直线OP的斜率k的取值范围

Answer 1

|AP|=|OA|=a，所以△OAP是等腰△，从A向OP作垂线（参见下图），由直角三角形相似可得：|OP|/|OA|=|x|/[|OP|/2]，即 2a|x|=|OP|²；

设直线斜率为k，由勾股定理：|OP|²=x²+y²，所以 2a|x|=(1+k²)x²，|x|=2a/(1+k²)；

代入椭圆方程：[2a/(1+k²)]²/a²+[2ka/(1+k²)]²/b²=1；

整理上式：(1+k²)²-4(a/b)²(1+k²)+4[(a/b)²-1]=0；

求解得以(a/b)表示的斜率关系：1+k²=2(a/b)²+2√[(a/b)^4- (a/b)²+1]；

由于a/b>1，所以k²>3；

Answer 2

椭圆C：x²/a²+y²/b²=1(a>b>0)的左顶点A的坐标为（-a,0）
设过OP两点的直线解析式为:y=KX
则 P（X，KX）
因为 |AP|=|OA| 得 (x+a)²+(kx)²=OA²=a²
得 x=0（不符合条件）或x=-2a/(k+1) 其中k≠-1
又 P（X，KX）在椭圆C上
得 x²/a²+(kx)²/b²=1
x=-ab/√(b²+a²k²)
由于 a>b>0 A为椭圆C的左顶点，P点在二、三像限
即 x=-2a/(k+1)<0
则中k<-1