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高等数学试题

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Answer 1

设原来的圆是圆1, 第一个内接正方形是正方形1, 则圆1的半径为R, 正方形1的边长为√2R, 圆2的半径为√2R/2, 正方形2的 边长为R,...., 类推可知, 第n个圆的半径为(√2/2)^(n-1)R, 第n个正方形的边长为√2*(√2/2)^(n-1)R. 所以第n个圆的面积是πR^2/2^(n-1), 第n个正方形的面积是R^2/2^(n-2). 所以前n个圆的面积和前n个正方形的面积的和为πR^2(1+1/2+...+1/2^(n-1))+R^2(2+1+1/2+...+1/2^(n-2))=πR^2(2-1/2^(n-1))+R^2(4-1/2^(n-2)). 当n->∞时，这个和的极限是2πR^2+4R^2=(2π+4)R^2.

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