Question

设函数 f(x)=lg(x+√x²+1） (1)确定函数f (x)的定义域 (2)判断函数f (x)的奇偶性

(3)证明函数f (x)在其定义域上是单调增函数；
(4)求函数f(x)的反函数.
x²+1都在根号下

Answer 1

(1)解：
因为对任意实数x， √(x²+1)>√x²=|x|≥-x，所以√(x²+1)>-x，即x+√(x²+1)>0，
于是f(x)的定义域为R.

(2)解：
f(x)的定义域为R，对任意实数x，
因为f(-x)=lg[-x+√(x²+1)]
=lg{[-x+√(x²+1)][x+√(x²+1)]/[x+√(x²+1)]}
=lg{1/[x+√(x²+1)]}
=lg[x+√(x²+1)]^(-1)
=-lg[x+√(x²+1)]
=-f(x)
所以f(x)是奇函数.

(3)证明：
f(x)的定义域为R，对任意实数x1，x2，且x1<x2，
因为x1<x2，√(x1²+1)<√(x2²+1)，所以x1+√(x1²+1)<x2+√(x2²+1)
而lgu单调增，所以lg[x1+√(x1²+1)]<lg[x2+√(x2²+1)]
即f(x1)<f(x2).
于是函数f(x)在其定义域上R是单调增函数.

(4)解：
已知f(x)=lg[x+√(x²+1)]在其定义域R上是单调增函数
则f(x)存在反函数
因为f(x)是奇函数，所以f(-x)=-f(x)
设y=lg[x+√(x²+1)]，则-y=lg[-x+√(x²+1)]，
即有10^y=x+√(x²+1)，10^(-y)=-x+√(x²+1)，
两式相减，易得x=[10^y-10^(-y)]/2.
互换x,y，得y=[10^x-10^(-x)]/2.
于是f(x)的反函数为f^(-1)(x)=[10^x-10^(-x)]/2.