Question

已知点F1,F2分别是椭圆x²/2+y²=1的左、右焦点，过点F1做倾斜角为π/4的直线l

已知点F1,F2分别是椭圆x²/2+y²=1的左、右焦点，过点F1做倾斜角为π/4的直线l

求AB的长，以及△F2AB的周长与面积

Answer 1

解： 已知椭圆方程为：x^2/2+y^2=1 (1)
c^2=a^2-b^2.
=2-1.
=1.
c=±1
∴F1(-1,0), F2(1,0).
又，过F1且倾斜角为π/4的直线l的方程为：
y=x+1, (2)
将y=x+1代入椭圆方程(1)中，求出直线l与椭圆的两个交点A、B的坐标：
x^2/2+(x+1)^2=1.
化简，得：3x^2+4x=0.
x(3x+4)=0.
x1=0,
x2=-4/3.
将x1、x2 代入方程(2),得到y1=1, y2=-1/3.
∴交点A、B的坐标为：A(-4/3，-1/3), B(0，1).
弦AB的长度|AB|=√{[0-(-4/3)]^2+[1-(-1/3)]^2}=(4/3)√2. ---所求弦长。

又由椭圆的的性质，有：
|AF1|+|AF2|=2a, (3)
|BF1|+|BF2|=2a (4).
(3)+(4)： |AF1|+|BF1+|AF2|+|BF2|=4a.
|AB)+|BF2|+|AF2|=4a.
△F2AB的周长C=|AB|+|BF2|+|AF2|=4a
∴C=4√2 (长度单位). --- 即为所求的周长；

求F2(1，0)至直线l：x-y+1=0的距离d.
d=|1*1-!*0+1|/√2.
=2/√2.
=√2.
△F2AB的面积S=(1/2)*|AB|*d.
S=(1/2)*(4/3)√2*√2.
∴S=4/3 (面积单位).---所求面积。

√√

Answer 2

a=√2,b=1,c=1,离心率e=c/a=√2/2,
AB的倾斜角θ=π/4,
根据焦点弦公式,
|AB|=(2b^2/a)/[1-(ecos45°)^2]
=(2*1/√2)/[1-(√2/2)^2*(√2/2)^2]
=4√2/3.
△F2AB周长=|AB|+|BF2|+|AF2|
=|AF1|+|BF1|+|BF2|+|AF2|
=(AF1|+|AF2|)+(|BF1|+|BF2|)
=2a+2a=4a=4√2.
从A作AP⊥X轴,从B作BQ⊥X轴,垂足为P、Q，
|AP|=|AF1|*cos45°，
|BQ|=|BF1|*cos45°，
|AP|+|BQ|=cos45°*|AB|=（4√2/3）*√2/2=4/3，
S△ABF2=S△AF1F2+S△BF1F2
=|F1F2|*|AP|/2+|F1F2|*|BQ|/2
=|F1F2|*|AB|/2
=2*（4/3）/2
=4/3，
∴|AB|=4/3。
△F2AB周长=4√2，
S△F2AB=4/3。