Question

已知P是椭圆x^2/4+y^2=1的任意一点，F1,F2是椭圆的焦点，求（1）|PF1|*|PF2|的最大值

已知P是椭圆x^2/4+y^2=1的任意一点，F1,F2是椭圆的焦点，求（1）|PF1|*|PF2|的最大值（2）|PF1|^2+|PF2|^2的最小值

Answer 1

由椭圆性质|PF1|+|PF2|=4
(1)所以有
|PF1|+|PF2|>=2*根号（PF1|*|PF2|）
所以 |PF1|*|PF2|<=(|PF1|+|PF2|)/2*(|PF1|+|PF2|)/2=4/2*4/2=4
故 |PF1|*|PF2|的最大值4
(2)|PF1|^2+|PF2|^2=(|PF1|+|PF2|)*(|PF1|+|PF2|)-2*|PF1|*|PF2|>=4*4-2*4=8
故 |PF1|^2+|PF2|^2的最小值8

Answer 2

由题可知：a=2,b=1.
由椭圆定义可知:
|PF1|+|PF2|=2a=4.
由算术平均值与几何平均值的关系,得:
根号[|PF1|*|PF2|]<=(1/2)[|PF1|+|PF2|] =(1/2)*4=2
等号当且仅当|PF1|=|PF2|
此时|PF1|*|PF2|取得最大值2^2=4.