Question

如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于点D,AF平分∠CAB,交CD于点E,交BC于点F,求证:∠CEF=∠CFE

Answer 1

如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，AF平分∠CAB交CD于E，交BC于F，求证：∠CEF=∠CFE．考点：三角形的外角性质；三角形内角和定理．专题：证明题．分析：根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，可得∠CEF=∠1+∠3，∠CFE=∠B+∠2，再根据同角的余角相等可得∠3=∠B，等量代换即可证明∠CEF=∠CFE．解答：证明：证法一：在Rt△AFC中，
∠CFA=90°-∠1（直角三角形两锐角互余）
同理在Rt△AED中，
∠AED=90°-∠2．
又∵AF平分∠CAB（已知）
∴∠1=∠2（角平分线定义）
∴∠AED=∠CFE（等量代换）
又∵∠CEF=∠AED（对顶角相等）
∴∠CEF=∠CFE．

证法二：利用三角形外角定理证．
∵∠CEF=∠1+∠3（1），
∠CFE=∠B+∠2（2）（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）
又∵∠3+∠ECF=90°，
∠B+∠FCE=90°（已知）
∴∠3=∠B．
由（1）、（2）可知∠CEF=∠CFE．（等量代换）点评：本题证明的方法很多，可根据利用直角三角形两锐角互余来证明，也可根据三角形外角定理证．

Answer 2

等腰三角形
因为 Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠CAB的平分线AF交CD于E，交BC于F
得 ∠CAF=∠EAD 平分角
因为 CD⊥AB于D
得 ∠CDA=90°
因为 CD⊥AB于D，∠CAB的平分线AF交CD于E，交BC于F
得 ∠AED=∠CEF
因为 ∠ACB=∠CDA ∠CAF=∠EAD
得∠EFC=AED 又因∠AED=∠CEF（对角相等）
所以 △CEF为等腰三角形, ∠CFE=∠CEF

Answer 3

证明：∠CEF=∠AED（两角为对顶角）
∠AED=90-∠DAF
所以，∠CEF=90-∠DAF
∠CFE=∠CFA=90-∠CAF
因为，AF平分∠CAB
所以，∠DAF=∠CAF
∠CEF=90-∠DAF=90-∠CAF=∠CFE
因此：:∠CEF=∠CFE

Answer 4

证明：
∵∠ACB＝90
∴∠BAC+∠B＝90
∵CD⊥AB
∴∠BAC+∠ACD＝90
∵AF平分∠BAC
∴∠BAF＝∠CAF
∵∠CEF＝∠CAF+∠ACD，∠CFE＝∠BAF+∠B
∴∠CEF＝∠CFE