Question

设T是V的一个线性变换,如果T^(k-1)*α≠0,但T^k*α=0,证明a

设T是V的一个线性变换,如果T^(k-1)*α≠0,但T^k*α=0,证明a,Ta,....T^(k-1)a线性无关

Answer 1

证明：
若存在k0,k1,...,k(n-1)，使得：
k0a+k1Ta+...+k(n-1)T^(k-1)a=0
由于T^(k-1)a≠0，等式两端同时作用T^(k-1)得：
k0T^(k-1)a=0=>k0=0，带入原式得：
k1Ta+...+k(n-1)T^(k-1)a=0
等式两端同时作用T^(k-2)得：
k1T^(k-1)a=0=>k1=0
依此类推可知，k0,k1,...,kn都为零
故a,Ta,....T^(k-1)a线性无关。
证毕