Question

P为椭圆x^2/3+y^2=1上任意一点，则P到直线x+y-5=0的最短距离

Answer 1

解：由题意设椭圆上有一点P(x,y) 使得到直线x+y-5=0的距离最短

过点P做直线x+y-5=0的平行线l 由题知当两条直线间的距离最短时 则P点到x+y-5=0的距离最短

∴设直线l的方程为x+y+k=0 代入椭圆方程中 化简整理得4x^2+6kx+3k^2-1=0

∵l与椭圆相切 ∴△=0 即(6k)^2-4*4*(3k^2-1) 解得k=±2√2/3

所以直线l的方程为x+y±2√2/3=0 由平行线间的距离公式得

d=（15√2-4）/6（最小距离） d=（15√2+4）/6 (最大距离）

综上所述，点p到直线x+y-5=0的最短距离为（15√2-4）/6

Answer 2

解：p在椭圆上，要使p到直线x+y-5=0的最短距离，
可平移直线x+y-5=0，使其与椭圆相切，
设平移后直线方程为x+y-b=0
与椭圆方程x^2/3+y^2=1
联解：有4x^2/3-2bx+b^2-1=0
因为相切，只有一个根，△=0
即（-2b)^2-4×(4/3)(b^2-1)=0
b=±2，
符合题意的只有b=2
所以，切线方程为x+y-2=0，与椭圆方程联解得x=3/2,y=1/2
所以p(3/2,1/2)
过p点且垂直x+y-5=0的直线方程为y=x+n，交点D
两直线方程k1k2=-1
1/2=3/2+n
n=-1
解x+y-5=0,y=x-1
地x=3,y=2
D(3,2)
__________________
PD=√(3-3/2)∧2+(2-1/2)∧2
PD=3/2√2

Answer 3

解：设x+y-5=0的平行直线为x+y+k=0,即y=-x-k,把y=-x-k代入椭圆中整理得：
4x²+6kx+3k²-3=0
△=（6k)²-4×4×(3k²-3)=0
∴k1=2,k2,=-2,∴直线x+y+2=0与x+y-2=0与椭圆相切，切点P到直线的距离最大或最小；
d1=|-5-2|/√(1²+1²)=(7√2)/2,d2=|-5+2|/√(1²+1²)=(3√2)/2
所以P到直线x+y-5=0的距离最小值为（3√2）/2