Question

设函数 f(x)=lg(x+√x²+1） (1)确定函数f (x)的定义域 (2)判断函数f (x)的奇偶性

(3)证明函数f (x)在其定义域上是单调增函数；
(4)求函数f(x)的反函数.
x²+1都在根号下

Answer 1

解:f(x)=lg[(√x^2+1)-x]
讨论定义域:
由于: x^2+1>x^2>0
则有: √(x^2+1)>x
则:√(x^2+1)-x>0 在X属于R时恒成立

则定义域为R,关于原点对称

则:f(x)+f(-x)
=lg[(√x^2+1)-x]+lg{√[(-x)^2+1]-(-x)}
=lg[(√x^2+1)-x]+lg[(√x^2+1)+x]
=lg{[(√x^2+1)-x]*[(√x^2+1)+x]}
=lg{(x^2+1)-x^2}
=lg{1}
=0
则: f(-x)=-f(x)
则为奇函数

反函数：
由对数函数的定义得：10^y= x+√(1+x^2)
10^y- x=√(1+x^2).两边平方并整理得：
x=1/2[10^y-10^(-y)].所以，所求的反函数为
y=1/2[10^x-10^(-x)] (x∈R).