Question

高三数学函数问题，求详解

Answer 1

由于 f(x-2)=f(x+2) ，因此函数是周期为 4 的周期函数，
因为 f(4)=f(0)=2^0=1 ，而 4/4=1 ，所以它们有公共点（4，1）。
要使 y=1/4*x 与 f(x) 的图像有 3 个公共点，则只能是 y=k√(-x^2+4x-3) (k>0) 与 y=1/4*x 有两个交点，或 y=k√[-(x+4)+4(x+4)-3] (k<0) 与 y=1/4*x 有两个交点。
根据对称性，只考虑 k>0 的情形。
由 k√(-x^2+4x-3)=1/4*x (1<x<3) 得 k=x/[4√(-x^2+4x-3)]=1/4*1/√[-3(1/x)^2+4(1/x)-1] ，
令 t=1/x ，由 1<x<3 得 1/3<t<1 ，
由 -3t^2+4t-1= -3*(t-2/3)^2+1/3 得 t=2/3 时有最大值 1/3 ，
因此当它们有两个公共点时， k>1/4*1/√(1/3)=√3/4 ，
但 y=k√[-(x-4)^2+4(x-4)-3] (5<x<7) 与 y=1/4*x 不能有公共点，
由 k√[-(x-4)^2+4(x-4)-3]=1/4*x 得 k=x/[4√(-x^2+12x-35)]=1/4*1/√[-35(1/x)^2+12(1/x)-1] ，
同理可得，当它们有公共点时 k>=√35/4 ，
由此可得，当 k>0 时，满足条件的 k 的范围是 （√3/4，√35/4），
由对称性，所求的 k 的取值范围是 （-√35/4，-√3/4）U（√3/4，√35/4）。

Answer 2

∵f(x-2)=f(x+2)∴f(x+4)=f[(x+2)+2]=f[(x+2)-2]=f(x)
函数是周期为4的函数
x∈[-1,1] 1/2≤2^(-|x|)≤1 -1/4≤x/4≤1/4 x/4＜2^(-|x|) 直线与函数没有交点
∵f(4)=f(0)=1 由题意图象有3个公共点
∴直线y=x/4与函数在x∈(1,3)必有两个交点
即k√(-x²+4x-3)=x/4 在x∈(1,3)有两个不相等解化简整理得
(1+16k²)x²-64k²x+48k²=0
1＜x1＜3 1＜x2＜3
2＜x1+x2＜6 1＜x1x2＜9 ⊿＞0
解上边三个不等式得到
k＞√3/4或k＜-√3/4

Answer 3

f(x-2)=f(x+2)知，f(x)是周期为4的函数。
画图像易得。

Answer 4

f(x)=f(x+4)，f(x)周期为4的周期函数（粉红线y=0.5，绿线f(x)2）

-1≤x≤1时，f(x)=1/丨2的x方丨，图像为f(x)1的-1≤x≤1部分，与y=x/4只有一个交点，在x=4；

1<x<3时，f(x)图像f(x)2

f(x)与y只有3个公共点，则f(x)2必须跟y=x/4有且只有2个公共点。

临界图：白线是画的时候不小心复制到的，不用看。

f(x)2跟y=x/4有且只有2个公共点，可以看出只要考虑(-1，-3)之间。

所以k>0

f(x)2=x/4 有两个解。△大于0

k>(根号3）/4

Answer 5

在同学中去找，去讨论。