高三数学函数问题,求详解
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2012-11-28 · 知道合伙人教育行家
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由于 f(x-2)=f(x+2) ,因此函数是周期为 4 的周期函数,
因为 f(4)=f(0)=2^0=1 ,而 4/4=1 ,所以它们有公共点(4,1)。
要使 y=1/4*x 与 f(x) 的图像有 3 个公共点,则只能是 y=k√(-x^2+4x-3) (k>0) 与 y=1/4*x 有两个交点,或 y=k√[-(x+4)+4(x+4)-3] (k<0) 与 y=1/4*x 有两个交点。
根据对称性,只考虑 k>0 的情形。
由 k√(-x^2+4x-3)=1/4*x (1<x<3) 得 k=x/[4√(-x^2+4x-3)]=1/4*1/√[-3(1/x)^2+4(1/x)-1] ,
令 t=1/x ,由 1<x<3 得 1/3<t<1 ,
由 -3t^2+4t-1= -3*(t-2/3)^2+1/3 得 t=2/3 时有最大值 1/3 ,
因此当它们有两个公共点时, k>1/4*1/√(1/3)=√3/4 ,
但 y=k√[-(x-4)^2+4(x-4)-3] (5<x<7) 与 y=1/4*x 不能有公共点,
由 k√[-(x-4)^2+4(x-4)-3]=1/4*x 得 k=x/[4√(-x^2+12x-35)]=1/4*1/√[-35(1/x)^2+12(1/x)-1] ,
同理可得,当它们有公共点时 k>=√35/4 ,
由此可得,当 k>0 时,满足条件的 k 的范围是 (√3/4,√35/4),
由对称性,所求的 k 的取值范围是 (-√35/4,-√3/4)U(√3/4,√35/4)。
因为 f(4)=f(0)=2^0=1 ,而 4/4=1 ,所以它们有公共点(4,1)。
要使 y=1/4*x 与 f(x) 的图像有 3 个公共点,则只能是 y=k√(-x^2+4x-3) (k>0) 与 y=1/4*x 有两个交点,或 y=k√[-(x+4)+4(x+4)-3] (k<0) 与 y=1/4*x 有两个交点。
根据对称性,只考虑 k>0 的情形。
由 k√(-x^2+4x-3)=1/4*x (1<x<3) 得 k=x/[4√(-x^2+4x-3)]=1/4*1/√[-3(1/x)^2+4(1/x)-1] ,
令 t=1/x ,由 1<x<3 得 1/3<t<1 ,
由 -3t^2+4t-1= -3*(t-2/3)^2+1/3 得 t=2/3 时有最大值 1/3 ,
因此当它们有两个公共点时, k>1/4*1/√(1/3)=√3/4 ,
但 y=k√[-(x-4)^2+4(x-4)-3] (5<x<7) 与 y=1/4*x 不能有公共点,
由 k√[-(x-4)^2+4(x-4)-3]=1/4*x 得 k=x/[4√(-x^2+12x-35)]=1/4*1/√[-35(1/x)^2+12(1/x)-1] ,
同理可得,当它们有公共点时 k>=√35/4 ,
由此可得,当 k>0 时,满足条件的 k 的范围是 (√3/4,√35/4),
由对称性,所求的 k 的取值范围是 (-√35/4,-√3/4)U(√3/4,√35/4)。
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∵f(x-2)=f(x+2)∴f(x+4)=f[(x+2)+2]=f[(x+2)-2]=f(x)
函数是周期为4的函数
x∈[-1,1] 1/2≤2^(-|x|)≤1 -1/4≤x/4≤1/4 x/4<2^(-|x|) 直线与函数没有交点
∵f(4)=f(0)=1 由题意图象有3个公共点
∴直线y=x/4与函数在x∈(1,3)必有两个交点
即k√(-x²+4x-3)=x/4 在x∈(1,3)有两个不相等解化简整理得
(1+16k²)x²-64k²x+48k²=0
1<x1<3 1<x2<3
2<x1+x2<6 1<x1x2<9 ⊿>0
解上边三个不等式得到
k>√3/4或k<-√3/4
函数是周期为4的函数
x∈[-1,1] 1/2≤2^(-|x|)≤1 -1/4≤x/4≤1/4 x/4<2^(-|x|) 直线与函数没有交点
∵f(4)=f(0)=1 由题意图象有3个公共点
∴直线y=x/4与函数在x∈(1,3)必有两个交点
即k√(-x²+4x-3)=x/4 在x∈(1,3)有两个不相等解化简整理得
(1+16k²)x²-64k²x+48k²=0
1<x1<3 1<x2<3
2<x1+x2<6 1<x1x2<9 ⊿>0
解上边三个不等式得到
k>√3/4或k<-√3/4
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f(x-2)=f(x+2)知,f(x)是周期为4的函数。
画图像易得。
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