Question

设f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,证明:存在ξ∈(0,1)使得f(ξ)+f‘'(ξ)=e^ξ[f(1)e-f(0)]

考虑函数F(x)=e^xf(x)在[0,1]上的拉格朗日中值定理
设f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,证明:存在ξ∈(0,1)使得f(ξ)+f'(ξ)=e^ξ[f(1)e-f(0)]
题目有错，正确为上述，没有f'',只有f'

Answer 1

设F(x)=(e^x)f(x), 则：F(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导
由拉格朗日中值定理，
存在ξ∈(0,1)，使得：
F'(ξ)*(1-0)=F(1)-F(0)
(e^ξ)f(ξ)+(e^ξ)f'(ξ)=f(1)e-f(0)
f(ξ)+f'(ξ)=(e^(-ξ))[f(1)e-f(0)]

不知道为什么算出来的是e^(-ξ)，和答案有出入，是不是题目抄漏了一个负号？

Answer 2

你确认你写得结论是这样子的？如果确认，那这题就是错题。
反例：f(x)=e^x，f(1)e-f(0)=e^2-1，
f(x)+f'(x)=2e^x，不存在使得结论等式成立的ξ。