Question

函数展开成幂级数的问题，跪求高人指点。。

1.将函数f(x)=x/x^2-3x+2 展开成x的幂级数，并指出收敛区间。
2.将函数f(x)=x/2x^2+3x-2 展开成（x-1)的幂级数
应该都是间接展开法往基本展开式靠吧，但这两题分子上都有x，该怎么弄。。还有，“2x^2+3x-2" 像这种多项式该怎么因式分解啊？

Answer 1

1.f(x)=x/x^2-3x+2=-1/（x-1）+2/（x-2）=1/（1-x）-1/（1-x/2）=（1+x+x²+x³+……）+（1+x/2+x²/2²+x³/2³+……）=2+3/2x+5/4x²+9/8x³+…… 由于1+x+x²+x³+……的收敛域为（-1，1），1+x/2+x²/2²+x³/2³+……的收敛域为（-2，2），所以2+3/2x+5/4x²+9/8x³+……的收敛域为（-1，1）

2.x/2x^2+3x-2=x/((x+2)(2x-1))=(2/5)/(x+2)+(1/5)/(2x-1)=2/15*1/(1+(X-1)/3)+1/5*1/(1+2(x-1))
=2/15*(1-(x-1)/3+(x-1)²/9-（x-1）³/27+……)+1/5*（1-2*（x-1）+4（x-1）²-8（x-1）³+……）

Answer 2

x/x^2-3x+2=x/((x-1)(x-2))=-1/(x-1)+2/(x-2)=1/(1-x)-1/(1-x/2)
=求和x^n-x^n/2^n=求和(1-1/2^n)x^n
n从0到+无穷 |x|<1
x/2x^2+3x-2=x/((x+2)(2x-1))=(2/5)/(x+2)+(1/10)/(x-1/2)
=（1/5）/(1+x/2)-(1/5)/(1-2x)(剩下自己求)

追问

x/((x-1)(x-2))=-1/(x-1)+2/(x-2)
这一步中 分子上的x去哪了？
x/((x+2)(2x-1))=(2/5)/(x+2)+(1/10)/(x-1/2)
也是

追答

x/((x-1)(x-2))=A/(x-1)+B/(x-2)
左右同乘以(x-1),得
A+B(x-1)/(x-2)=x/(x-2) 取x=1得A=-1
同理得B=2

追问

额。。不明白这么做的道理啊。。可不可以分子上的x不动，把1/x^2-3x+2展开出来，最后在结果上再乘上个x啊？

追答

当然可以了