Question

微观经济学题目，求解答。

1.某消费者在时期1的收入是300元，时期2收入625元。需求函数是u=x^0.8y^0.2，x，y分别是两个时期的两道消费量。利率是0.25，如果他在时期2获得奖金，收入变为1250元，时期1收入不变，则他在时期1的消费量将如何变化？
2.现在有一种新酒，喝酒的人目前愿意花40元买一瓶，且将会随着酒的年限的增长每年增加20元。利率为0.1，则买这种酒做投资，比较合适的价格是多少？
能不能稍微写下详细的步骤。

Answer 1

【自己写的，不是标准答案，你再检查检查推理过程】

【问题一】
1.无奖金，时期1收入300元，时期2收入625元
步骤一：建立自变量和因变量的函数
时期1消费x和时期2消费y的关系为y=625+（300-x）*0.25=-0.25x+700，时期1消费x的取值范围为0≤x≤300，
效用函数u=（x^0.8）*（y^0.2）=（x^0.8）*[(-0.25x+700)^0.2],
则效用u对时期1消费x的导数为0.8（x^-0.2）*[(-0.25x+700)^0.2]+0.2*(-0.25)*[(-0.25x+700)^-0.8]*（x^0.8）=0.05*（x^-0.2）*[(-0.25x+700)^-0.8]*(-5x+11200),
因为0≤x≤300，所以9700≤-5x+11200≤11200，
又因为0≤0.05*（x^-0.2）*[(-0.25x+700)^-0.8]，
所以u对x的导数在x的可取范围内恒大于零，所以u随x的增大而增大，
所以当x=300时，max（u）=u1（根据题目设问，无需计算u1的具体数值）
2.奖金，时期1收入300元，时期2收入1250元步骤一：建立自变量和因变量的函数
x和y的关系为y=1250+（300-x）*0.25=-0.25x+1325，x的取值范围为0≤x≤300，
效用函数u=（x^0.8）*（y^0.2）=（x^0.8）*[(-0.25x+1325)^0.2]，
则u对x的导数为0.8（x^-0.2）*[(-0.25x+1325)^0.2]+0.2*(-0.25)* [(-0.25x+1325)^-0.8]*（x^0.8）=0.05*（x^-0.2）*[(-0.25x+1325)^-0.8]*(-5x+21200),
因为0≤x≤300，所以19700≤-5x+21200≤21200，
又因为0≤0.05*（x^-0.2）*[(-0.25x+1325)^-0.8]，
所以u对x的导数在x的可取范围内恒大于零，所以u随x的增大而增大，
所以当x=300时，max（u）=u2（根据题目设问，无需计算u2的具体数值）
3.综上，奖金有否，对时期1的消费量不构成影响。
4.补充，其实根据效用函数u=（x^0.8）*（y^0.2），可知，x=y时，u对x的偏导数大于u对y的偏导数，
也就是说当两个时期的消费相同时，时期1的消费比时期2的消费对效用值的边际贡献更大，即增加1单位x时u的增加量比增加1单位y时要大，
而当x<y时（如本题题干所设，x最多可消费300，y最少消费625），更是如此，因而，当利率很小，投资增值效应几乎可以忽略不计时，应当把时期1的收入都在时期1消费，
而时期2的奖金只会更加加剧这种趋势而已。

【问题二】
建立酒的净现值函数:
令i为储藏酒的年限（当期i=0），即储藏酒到第i年卖掉，又令P为当期购买酒的价格（为未知常数）,
酒在第i年的价值为20x+40，其现值为(20x+40)/[(1+0.1)^i]，
则净现值为NPV=(20x+40)/[(1+0.1) ^i]-P，
NPV对i求导数，为20*(1.1^-i)-20ln1.1*(i+2)*(1.1^-i)=20*1.1^-i*[1-ln1.1*(i+2)]
令导数为零，知i0=8.49，易知i<8.49时，导数为正，NPV随i的增大而增大，i>8.49时，导数为负，NV随i的增大而减小，
所以i=8/9时，max(NPV)，经计算知NPV(i=8)=93.3-P，NPV(i=9)=93.3-P，即max(NPV)= 93.3-P，
成功的投资，需要NPV>0，即93.3-P≥0，即P≤93.3