Question

设f(x)在[a，b]有二阶导数，f'(a)=f'(b)=0 证明，在(a，b)内至少存在一点ξ

设f(x)在[a，b]有二阶导数，f'(a)=f'(b)=0 证明，在(a，b)内至少存在一点ξ，使|f''(ξ)|≥4×|f(b)-f(a)|/(b-a)^2 如图第六题

Answer 1

设 c=(a+b)/2
f(c)=f(a)+f'(a)(c-a)+1/2 f''(t1)(c-a)^2, a<t1<c
f(c)=f(b)+f'(b)(c-b)+1/2 f''(t2)(c-b)^2, c<t2<b
相减，利用f'(a)=f'(b)=0，得：
f(a)-f(b)=1/2 (c-a)^2(f''(t2)-f''(t1))
取 ξ为t1,t2之一， 使得 |f''(ξ)|=max{|f''(t1)|,|f''(t2)|}
于是
|f''(ξ)|>=|f''(t2)-f''(t1)|/2 =|f(a)-f(b)|/ (c-a)^2=4×|f(b)-f(a)|/(b-a)^2