Question

已知：如图，△ABC、△CDE都是等边三角形，AD、BE相交于点O，点M、N分别是线段AD、BE的中点．

已知：如图，△ABC、△CDE都是等边三角形，AD、BE相交于点O，点M、N分别是线段AD、BE的中点．
（1）求证：AD=BE；
（2）求∠DOE的度数；
（3）求证：△MNC是等边三角形．

Answer 1

（1）∵△ABC、△CDE都是等边三角形

 ∴AC=BC，CD=CE

∠ACB=∠DCE=60°

 ∴∠ACB+∠BCD=∠DCE+∠BCD

 ∴∠ACD=∠BCE   

 ∴△ACD≌△BCE   

 ∴AD=BE           

（2）∵△ACD≌△BCE 

∴∠CDA =∠CEB     

∵在等边△CDE中 ∠CED=∠EDC=60°

 ∴∠CED+∠EDC=120°

 ∴∠CEB+∠OED+∠CDE=120° 

∴∠CDA+∠OED+∠CDE=120°

 ∴∠ODE+∠CED=120°

  ∴∠DOE =60°     

 （3）∵△ACD≌△BCE 

∴∠CAD =∠CBE　　AD=BE　　AC=BC 

   又∵点M、N分别是线段AD、BE的中点 ∴AM=1／2AD　　BN=1／2BE

 ∴AM=BN

   ∴△ACM≌△BCN

   ∴CM=CN      ∠ACM=∠BCN 

又∠ACB=60°

 ∴∠ACM+∠MCB=60°

 ∴∠BCN+∠MCB=60°

 ∴∠MCN=60°

 ∴△MNC是等边三角形