Question

上交大，2003卷，高等代数考研第四题，求解

Answer 1

证明：
设方程:x^4+x^3+x^2+x+1=0的解为x1,x2,x3,x4
对方程两侧同时乘以(xi-1)（i=1,2,3,4）得：
xi^5-1=0=>xi^5=1（i=1,2,3,4）
又由于1*(x^4+x^3+x^2+x+1)|[f0(x^5)+xf1(x^10)+x^2f2(x^15)+x^3f3(x^20)+x^4f4(x^25)]
故xi^5*(xi^4+xi^3+xi^2+xi+1)|[f0(xi^5)+xif1(xi^10)+xi^2f2(xi^15)+xi^3f3(xi^20)+xi^4f4(xi^25)]
且xi^5*(xi^4+xi^3+xi^2+xi+1)=0，
故:
f0(xi^5)+xif1(xi^10)+xi^2f2(xi^15)+xi^3f3(xi^20)+xi^4f4(xi^25)
=f0(1)+xif1(1)+xi^2f2(1)+xi^3f3(1)+xi^4f4(1)=0
=>由此得方程组
f0(1)+x1f1(1)+x1^2f2(1)+x1^3f3(1)+x1^4f4(1)=0
f0(1)+x2f1(1)+x2^2f2(1)+x2^3f3(1)+x2^4f4(1)=0
f0(1)+x3f1(1)+x3^2f2(1)+x3^3f3(1)+x3^4f4(1)=0
f0(1)+x4f1(1)+x4^2f2(1)+x4^3f3(1)+x4^4f4(1)=0
将f0(1)移到等式右边，
将f1(1),f2(1),f3(1),f4(1)视为未知数，f0(1)视为常数项，得非齐次线性方程组
系数矩阵为一个类范德蒙矩阵A，为满秩矩阵，增广矩阵A1的秩与A相同
由线性方程组有解判别定理，该方程组有唯一解
且由克拉默法则可以求出这个唯一解，
形式为：fi(1)=tif0(1)（i=1,2,3,4;ti≠0）
结合方程组形式可知：
f0(1)+xif1(1)+xi^2f2(1)+xi^3f3(1)+xi^4f4(1)=f0(1)(1+t1xi+t2xi^2+t3xi^3+t4xi^4)=tf0(1)=0
由于1,x,x^2,x^3,x^4为P[5]的一组基，故其线性无关；
又由于1,t1,t2,t3,t4不全为零，故t≠0
故f0(1)=0=>fi(1)=tif0(1)=0=>fj(1)=0（1=1,2,3,4；j=0,1,2,3,4）
故有：(1-x)|fi(x)（i=0,1,2,3,4）
证毕