Question

用泰勒公式求这个极限

能不能一开始就用等价无穷小把上面的分子替换了？

Answer 1

本题不需要用泰勒公式来做，可直接用等价无穷小代换解决
先看分母：tanx等价于x，2^x-1=e^(xln2)-1等价于xln2，因此分母等价于：x²ln2

下面拆为两个极限来做
原式=lim[x→0] [(1+x²)^(1/3)-1]/(x²ln2) - lim[x→0] [x(e^x-1)]/(x²ln2)
下面用等价无穷小代换即可
=lim[x→0] [(1/3)x²]/(x²ln2) - lim[x→0] x²/(x²ln2)
=(1/3)(1/ln2) - 1/ln2
=-2/(3ln2)

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Answer 2

等价无穷小代换不可以随便用的。