Question

不定积分

(sin)^2/[1+(sinx)^2]的不定积分

Answer 1

∫ sin²x/(1+sin²x) dx
=∫ (sin²x+1-1)/(1+sin²x) dx
=∫ 1 dx - ∫ 1/(1+sin²x) dx
后一个积分的分子分母同除以cos²x
=x - ∫ sec²x/(sec²x+tan²x) dx
=x - ∫ 1/(sec²x+tan²x) d(tanx)
=x - ∫ 1/(1+2tan²x) d(tanx)
=x - (1/√2)∫ 1/(1+2tan²x) d(√2tanx)
=x - (1/√2)arctan(√2tanx) + C

【数学之美】团队为您解答，若有不懂请追问，如果解决问题请点下面的“选为满意答案”。

Answer 2

不定积分(sin)^2/[1+(sinx)^2]dx=
不定积分{1-1/[1+(sinx)^2]}dx
=x-不定积分csc^2(x)/(1+csc^2x)dx
=x+不定积分1/(1+csc^2x)dcot(x)
=x+不定积分1/(2+cot^2x)dcot(x)
=x+1/genhao(2)*arctan(cot(x)/genhao(2))+C